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Hallo!
Wenn ich eine Matrix über eine Basis in Jordannormalfpom bringen soll,berechnet man ja die Eigenwerte,die Eigenvektoren und daruas die Basis und hier habe ich bei folgender Aufgabe ein Problem.:
charakt.Polynom: [mm] -(X-2)^3
[/mm]
[mm] ker(A-2*E)=\pmat{ 1 & 4 & 3 \\ -1 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & 1},hieraus [/mm] erhalte ich als Eigenvektor [mm] (1,-1,1)^t [/mm] (das müsste stimmen!!) und als nächstes:
[mm] ker(A-2E)^2=\pmat{ 0 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & -2 \\ 0 & 2 & 2 },die [/mm] Eigenvektoren [mm] (0,1,-1)^t (1,1,-1)^t [/mm] ,so aber wie wähle ich jetzt die Basis?Einfach die 3 Eigenvektoren nehmen? Ach und [mm] ker(A-2*E)^3=0 [/mm] Matrix
Dankbar über Hilfe!
Besten Gruß
Martin
ps.falls ihr das doch vielleicht nachprüfen wollt was ich gerechnet habe, die Ausgangsmatrix [mm] lautet:\pmat{ 3 & 4 & 3\\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 3}[/mm]
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Huhu.
Du solltest noch einmal genau nachrechnen, denn die Eigenvektoren zu [mm] ker(A-2E)^2 [/mm] sind nicht korrekt.
[mm] \pmat{ 0 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & -2 \\ 0 & 2 & 2 } [/mm] ergibt umgeformt [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Das heißt für den Kern dieser Matrix gilt: [mm] ker(A-2E)^2 [/mm] = [mm] \{s*(0,1,-1)\} [/mm] Davon lässt sich nun leicht eine Bais wählen.
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Hallo,
Danke für die Antwort.Es kann doch aber nicht sein,dass die Basis nur aus {s*(0,-1,1) ^t} besteht da die Dimension des Kernes 2 ist also fehlt da noch ein Vektor,den Vektor den du angegeben hast,den habe ich ja ebenfalls raus bekommen,wie im ersten post geschrieben aber mir geht es ja hauptsächlich um den 2. und die daraus entstehende Basis bzgl.A Jordansche Normalform hat.
Besten Gruß
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 So 13.07.2008 | | Autor: | martinzahl |
Hallo Leute,
Kann mir denn keiner helfen?Besten gruß
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Hallo martinzahl,
> Hallo,
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> Danke für die Antwort.Es kann doch aber nicht sein,dass die
> Basis nur aus {s*(0,-1,1) ^t} besteht da die Dimension des
> Kernes 2 ist also fehlt da noch ein Vektor,den Vektor den
> du angegeben hast,den habe ich ja ebenfalls raus
> bekommen,wie im ersten post geschrieben aber mir geht es ja
> hauptsächlich um den 2. und die daraus entstehende Basis
> bzgl.A Jordansche Normalform hat.
Berechne sämtliche Potenzen von [mm]T:=A-2*I[/mm], wobei I die Einheitsmatrix ist. Dann stellst Du fest, daß dieses T nilpotent vom Nilpotenzgrad 3 ist.
[mm]T^{0}=I, \ T^{1} \not=0 , \ T^{2}\not= 0, T^{3}=0[/mm]
Wähle deshalb einen Vektor [mm]v \not= 0[/mm] aus Kern[mm]\left(T^3\right)[/mm]. Dabei ist zu beachten, daß dieses v kein Element aus Kern[mm]\left(T^{2}\right)[/mm] sowie kein Element aus Kern[mm]\left(T\right)[/mm] ist. So ist
[mm]\left(v, \ Tv, \ T^{2}v\right)[/mm]
eine Basis.
>
> Besten Gruß
> Martin
Gruß
MathePower
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Hallo Mathepower,
Ich weiß auf diese Art und Weise kann man es auch machen aber ich wollte es so versuchen wie ich damit angefangen habe,dass ker [mm] (A-2*E)^3 [/mm] gleich 0 ist,hatte ich ja auch festgestellt aber so wie ich es im ersten post gemacht habe,warum ist das falsch?kann mir das vielleicht jemand sagen?Danke
Besten Gruß
Martin
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> Ich weiß auf diese Art und Weise kann man es auch machen
> aber ich wollte es so versuchen wie ich damit angefangen
> habe,dass ker [mm](A-2*E)^3[/mm] gleich 0 ist,hatte ich ja auch
> festgestellt aber so wie ich es im ersten post gemacht
> habe,warum ist das falsch?kann mir das vielleicht jemand
> sagen?
Hallo,
was hast Du denn im ersten Post gemacht?
Ich konnte dem entnehmen, daß Du [mm] kern(A-2*E)^3, kern(A-2*E)^2, [/mm] kern(A-2*E) berechnet hast, und damit hast Du doch genau die Vorbereitungen für das Tun, welches MathePower vorschlägt, getroffen.
3 Eigenvektoren kannst Du nicht nehmen, weil es nur einen Eigenvektor gibt.
Naja, Du wolltest sicher die Basis von [mm] kern(A-2*E)^2 [/mm] und die von kern(A-2*E) zusammennehmen - nur bekommst Du so keine Basis des [mm] \IR³, [/mm] denn es ist doch [mm] kern(A-2*E)\subseteq [/mm] kern(A-2*E)². daher muß das scheitern.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela!
Ja genau,du hast meinen Denkfehler entdeckt;)Danke dafür!Also waren die Eigenvektoren die ich zu den unteschiedlichen Kernen berechnet habe,schon richtig nur halt nicht die gesuchte Basis?Um noch einmal auf Nummer sicher zu gehen.:
[mm] ker(A-2*E)^1=(1 [/mm] -1 [mm] 1)^t
[/mm]
[mm] ker(A-2*E)^2=<(0 [/mm] 1 [mm] -1)^t,(1 [/mm] 1 [mm] -1)^t>
[/mm]
korrekt???
und da ja [mm] ker(A-2*E)^3=< [/mm] (1 0 0 [mm] )^t,(0 [/mm] 1 [mm] 0)^t,(0 [/mm] 0 [mm] 1)^t [/mm] >
habe ich hieraus einen Vektor gewählt der nicht in [mm] ker(A-2*E)^1 [/mm] und [mm] ker(A-2*E)^2 [/mm] liegt also zb.(0 0 [mm] 1)^t [/mm] ???
sollte das richtig sein,muss ich also nur noch [mm] <\vektor{0 \\ 0 \\ 1},(A-2*E)*\vektor{0 \\ 0 \\ 1},A-2*E)^2*\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] > ausrechnen?
Ich hoffe das es jetzt endlich so richtig ist!!!
Vielen Dank!
Besten Gruß
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:29 So 13.07.2008 | | Autor: | martinzahl |
Hallo nochmal!
Kann mir vielleicht einer von euch heute noch eine kleine Antwort schreiben;)?!Dann kann ich für heute endlich mit dieser Aufgabe abschliessen.
Besten Gruß
Martin
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> Hallo Angela!
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> Ja genau,du hast meinen Denkfehler entdeckt;)Danke
> dafür!Also waren die Eigenvektoren die ich zu den
> unteschiedlichen Kernen berechnet habe,schon richtig nur
> halt nicht die gesuchte Basis?Um noch einmal auf Nummer
> sicher zu gehen.:
> [mm]ker(A-2*E)^1=(1[/mm] -1 [mm]1)^t[/mm]
> [mm]ker(A-2*E)^2=<(0[/mm] 1 [mm]-1)^t,(1[/mm] 1 [mm]-1)^t>[/mm]
> korrekt???
> und da ja [mm]ker(A-2*E)^3=<[/mm] (1 0 0 [mm])^t,(0[/mm] 1 [mm]0)^t,(0[/mm] 0 [mm]1)^t[/mm] >
> habe ich hieraus einen Vektor gewählt der nicht in
> [mm]ker(A-2*E)^1[/mm] und [mm]ker(A-2*E)^2[/mm] liegt also zb.(0 0 [mm]1)^t[/mm] ???
> sollte das richtig sein,muss ich also nur noch [mm]<\vektor{0 \\ 0 \\ 1},(A-2*E)*\vektor{0 \\ 0 \\ 1},A-2*E)^2*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> > ausrechnen?
Hallo,
ich habe nicht [mm] ker(A-2*E)^2 [/mm] nicht nachgerechnet, der Rest stimmt so.
Du wirst dann ja auch, wenn alles richtig ist, Deine JNF sehen als Bestätigung.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
Ja danke es müsste stimmen da die Jordannormalform für C*A*C^(-1) heraus kommt.Ist das so eine Methode die immer klappt?Also ich such mir einfach aus der höchsten Dimension des Kernes der den kompletten raum aufspannt einen Vektor und multipliziere diesen mit den restlichen Kernen und man findet auch immer einen Vektor der in allen "unterkernen" nicht enthalten ist?
Besten Gruß
Martin
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> Hallo Angela,
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> Ja danke es müsste stimmen da die Jordannormalform für
> C*A*C^(-1) heraus kommt.Ist das so eine Methode die immer
> klappt?Also ich such mir einfach aus der höchsten Dimension
> des Kernes der den kompletten raum aufspannt einen Vektor
> und multipliziere diesen mit den restlichen Kernen und man
> findet auch immer einen Vektor der in allen "unterkernen"
> nicht enthalten ist?
Hallo,
eventuell muß man diesen Prozeß mehrfach durchführen.
Guck' mal das hier an: ![[]](/images/popup.gif) JNF-Kochrezept.
Ich finde, hier ist wunderbar beschrieben, wie es geht.
Gruß v. Angela
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