Eigenvektoren < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] A\in M(nxn,\IR) [/mm] symmetrisch. Für [mm] x=(x_{1},...,x_{n})^{t} [/mm] sei:
f: [mm] \IR^{n}\to\IR, [/mm] f(x):= [mm] x^{t}Ax
[/mm]
Sei [mm] S_{n-1}=\{x\in\IR^{n}|\parallel x\parallel^{2}=1\} [/mm] die Einheitsphäre. Zeigen Sie: Es gibt [mm] x_{min}, x_{max}\in S_{n-1} [/mm] s.d.
[mm] f(x_{min})=inf\{f(x)|x \in S_{n-1}\}, f(x_{max})=sup\{f(x)|x \in S_{n-1}\}
[/mm]
und [mm] x_{min}, x_{max} [/mm] sind Eigenvektoren von A. Insbesondere besitzt A einen reellen Eigenwert. |
Hallo,
Ich hoffe, ihr könnt mir weiter helfen. wie kann ich das geforderte beweisen? Bin ratlos.
Würde mich riesig über Hinweise, Tipps, Ansätze, Lösungsskizzen, Lösungen^^ freuen. Damit würdet ihr mir sehr weiter helfen!
Eure Spider
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Mo 23.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Dass f auf der Einheitssphäre Minimum und Maximum annimmt, folgt aus der Stetigkeit von f und der Kompaktheit der Sphäre.
Für den Rest der Aufgabe: suche Extremstellen von f unter der Nebenbedingung
||x|| = 1 (Lagrange). Wenn Du es richtig machst, wirst Du sehen, wie hier Eigenwerte und Eigenvektoren vo A ins Spiel kommen.
FRED
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