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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Mi 16.04.2008 | | Autor: | MichiNes |
| Aufgabe | | Warum ist die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] nicht diagonalisierbar? |
Hi Leute,
obige Frage wurde bei einem Freund von mir in der Zwischenprüfung gestellt. Ich versteh allerdings nicht ganz, warum die Matrix nicht diagonalisierbar sein soll. Klar sind die Spaltenvektoren linear abhängig. Aber die Eigenwerte sind ja 1 und 0. Die Eigenvektoren dazu sind ja für die 1: (1, 0, 0) und (0, 1, 0). Für die 0 bekomme ich als Eigenvektor (0, -2, 1) und dieser ist ja von den anderen beiden linear unabhängig. Also gibt es doch eine Basis aus Eigenvektoren und somit wäre die Matrix ja diagonalisierbar.
Wo ist denn mein Denkfehler bzw. Rechenfehler?
Könnt mir da jemand kurz auf die Sprünge helfen?? Wäre sehr cool!
Gruß Michi
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Hallo Michael,
ich hab's auch mal nachgerechnet und komme wie du zu dem Schluss, dass die Matrix diagonalisierbar ist.
Wenn du's mal explizit nachrechnest und die Eigenvektoren als Spalten in die transformierenden Matrix $T$ packst,
also [mm] $T=\pmat{1&0&0\\0&1&-2\\0&0&1}$, [/mm] und damit [mm] $T^{-1}=\pmat{1&0&0\\0&1&2\\0&0&1}$, [/mm] so ist
[mm] $T^{-1}AT$ [/mm] eine Diagonalmatrix [mm] $D=\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&0}$
[/mm]
Vllt. hat dein Kollege die Matrix nicht ganz richtig in Erinnerung behalten?
Hmm... 
LG
schachuzipus
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