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| Aufgabe | | Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren von [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ -1 & 2 & 5 } [/mm] |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
Berechnung der Eigenwerte durch
[mm] \vmat{ 2-\phi & 0 & 0 \\ 1 & 3-\phi & 0 \\ -1 & 2 & 5-\phi }
[/mm]
daraus ergeben sich die Eigenwerte
[mm] \phi1=2
[/mm]
[mm] \phi2=3
[/mm]
[mm] \phi3=5
[/mm]
um nun den eigenvektor für [mm] \phi1=2 [/mm] zu berechnen:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 }
[/mm]
kann mir jemand deppensicher erklären wie ich da nun den eigenvektor ablese?
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> Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren von [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ -1 & 2 & 5 }[/mm]
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> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
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> Berechnung der Eigenwerte durch
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> [mm]\vmat{ 2-\phi & 0 & 0 \\ 1 & 3-\phi & 0 \\ -1 & 2 & 5-\phi }[/mm]
>
> daraus ergeben sich die Eigenwerte
>
> [mm]\phi1=2[/mm]
> [mm]\phi2=3[/mm]
> [mm]\phi3=5[/mm]
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> um nun den eigenvektor für [mm]\phi1=2[/mm] zu berechnen:
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> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 }[/mm]
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> kann mir jemand deppensicher erklären wie ich da nun den
> eigenvektor ablese?
Hallo,
da es deppensicher sein soll, würde ich die Matrix erstmal richtig auf Zeilenstufenform bringen:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 } [/mm] --> [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] --> [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
So. Wir haben in dieser quadratischen Matrix eine Nullzeile erhalten, dh. der Kern dieser Matrix, der Eigenraum zum Eigenwert 2, hat die Dimension 1.
Diese Matrix repräsentiert ja ein lineares homogenes GS mit 2 Gleichungen und drei Variablen.
Ich kann also eine Variable frei wählen.
Ich nehme
z:=t
Aus der zweiten Zeile erfahre ich
y=0
und aus der ersten
x=0.
Damit weiß ich: alle Lösungen [mm] \vektor{x \\ y\\z} [/mm] dieses Gleichungssystems haben die Gestalt
[mm] \vektor{x \\ y\\z}=\vektor{0 \\ 0\\t}=t\vektor{0 \\ 0\\1}.
[/mm]
Der Lösungsraum wird aufgespannt von [mm] \vektor{0 \\ 0\\1}, [/mm] dieser Vektor ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 2. Alle pos. und neg. Vielfachen sind ebenfalls Eigenvektoren zu 2.
Ich hoffe, daß Du das nun für Deine anderen Eigenwerte so ähnlich nachvollziehen kannst.
Gruß v. Angela
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ich glaub ich bin zu deppat dafür...
wie komm ich auf die angeführten werte?
wie erfahre ich aus der zweiten zeile dass y den wert 0 hat?
wird 1x0x0 genommen?
und aus der ersten dass x=0 ?
sorry :(
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> ich glaub ich bin zu deppat dafür...
Lineare Gleichungssysteme? Koeffizientenmatrix?
Darum geht es hier.
Die Matrix $ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] $
ist die "Abkürzung" für
1*x+0*y+0*z=0
0*x+2*y+0*z=0
0*x+0*y+0*z=0,
und wir suchen sämtliche Tripel (x,y,z), die das System lösen.
> wie erfahre ich aus der zweiten zeile dass y den wert 0
> hat?
Und jetzt? Erfährst Du's jetzt?
Gruß v. Angela
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schwere blockade, aber jetzt raff ichs wieder...
das schlimmste dabei is, ich hab das bereits mal kapiert, und habe ein beispiel dazu auch an der tafel präsentiert (!!!!)
schweeeere blockade aber danke für die riesige geduld!
lg
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