Eigenvektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Di 08.11.2005 | | Autor: | Freak84 |
Hi Leute
Ich habe hier eine Aufgabe wo ich mir zwar vorstellen kann, dass es so ist aber kein Plan wie ich es nun aufschreiben soll.
X sei ein Eukliedischer Vektorraum mit Orthonormierter Basis Und [mm] \partial [/mm] : X [mm] \to [/mm] X eine Lineare Abbildung, beschrieben durch die Matrix A. Man zeige:
a) Ist A = [mm] A^{t} [/mm] , so sind die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenweten zueinander orthogonal.
b) Die Eigendwete einer Orthogonalen Matrix A sind komplexe Zahlen vom Betrag eins.
Vielen Dank für eure Hilfe
|
|
| |
|
Hallo Freak84,
> X sei ein Eukliedischer Vektorraum mit Orthonormierter
> Basis Und [mm]\partial[/mm] : X [mm]\to[/mm] X eine Lineare Abbildung,
> beschrieben durch die Matrix A. Man zeige:
>
> a) Ist A = [mm]A^{t}[/mm] , so sind die Eigenvektoren zu
> verschiedenen Eigenweten zueinander orthogonal.
Ist [mm]b_{1}[/mm] Eigenvektor zum Eigenwert [mm]\lambda_{1}[/mm] und [mm]b_{2}[/mm] Eigenvektor zum Eigenwert [mm]\lambda_{2}[/mm], wobei [mm]\lambda_{1}\;\not=\;\lambda_{2}[/mm], so gilt:
[mm]
\begin{gathered}
A\;b_1 \; = \;\lambda _1 \;b_1 \hfill \\
A\;b_2 \; = \;\lambda _2 \;b_2 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Durch Skalarproduktbildung mit [mm]b_{2}[/mm] bzw. [mm]b_{1}[/mm] folgt:
[mm]
\begin{gathered}
< A\;b_1 ,\;b_2 \; > \; = \;\lambda _1 < b_1 ,\;b_2 > \hfill \\
< b_1 ,\;A\;b_2 \; > \; = \;\lambda _2 < b_1 ,\;b_2 > \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Aufgrund der Eigenschaften des symmetrischen Operators A ([mm]\[
< A\;u,\;v > \; = \; < \;u,\;A\;v\; > [/mm]) müssen beide Seiten gleich sein.
Durch Subtraktion folgt nun:
[mm]
0\; = \;\left( {\lambda _1 \; - \;\lambda _2 } \right)\; < b_1 ,\;b_2 > [/mm]
Wegen [mm]\lambda_{1}\;\not=\;\lambda_{2}[/mm] ergibt sich daraus [mm] < b_1 ,\;b_2 > \;=\;0[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 Do 10.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Für einen solchen Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] mit zugehörigem normiertem Eigenvektor $v$ gilt ja:
[mm] $|\lambda|^2 [/mm] = [mm] \langle \lambda [/mm] x, [mm] \lambda [/mm] x [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] Ax,Ax [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] x,x [mm] \rangle [/mm] =1$.
Daraus folgt die Behauptung.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
