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| Aufgabe | | Sei [mm] A:=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }. [/mm] Berechnen Sie die Eigenwerte und -vektoren von A. Berechnen Sie zu einem Eigenvektor v den Ausdruck [mm] A^{n}v [/mm] für n [mm] \in \IN. [/mm] Finden Sie nun eine invertierbare Matrix V, für die Sie das Produkt [mm] A^{n}V [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] leicht angeben können und berechnen Sie damit [mm] A^{n}. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe bei dieser Aufgabe ein wenig Verständnisprobleme mit der Aufgabenstellung.
Ich habe bis jetzt die Eigenwerte [mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \bruch{1+\wurzel{3}}{2} [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \Bruch{1-\wurzel{3}}{2} [/mm] ausgerechnet.
Dann hab ich die Eigenvektoren bestimmt:
[mm] v_1 =\pmat{ \bruch{1+\wurzel{3}}{2} *a \\ a } [/mm] und [mm] v_2 =\pmat{ \bruch{1-\wurzel{3}}{2} *a \\ a }.
[/mm]
Und jetzt hab ich irgendwie Probleme mit der Aufgabenstellung. Soll ich mir jetzt einfach ein n Aussuchen für [mm] A^{n} [/mm] und das mit [mm] v_1 [/mm] oder [mm] v_2 [/mm] multiplizieren?
Und wenn ich irgendeine invertierbare Matrix V nehme, z.B. [mm] V=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }, [/mm] wie soll ich dann damit [mm] A^{n} [/mm] berechnen?
Danke schon mal für jede Hilfe=)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 Do 25.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
kleine Korrektur, die Eigenwerte sind [mm] \br{1\pm\wurzel{5}}{2}
[/mm]
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> Sei [mm]A:=\pmat{ 1 & 1 \\
1 & 0 }.[/mm] Berechnen Sie die
> Eigenwerte und -vektoren von A. Berechnen Sie zu einem
> Eigenvektor v den Ausdruck [mm]A^{n}v[/mm] für n [mm]\in \IN.[/mm] Finden
> Sie nun eine invertierbare Matrix V, für die Sie das
> Produkt [mm]A^{n}V[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm] leicht angeben können und
> berechnen Sie damit [mm]A^{n}.[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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> Hallo,
> ich habe bei dieser Aufgabe ein wenig Verständnisprobleme
> mit der Aufgabenstellung.
Hallo,
ich bin etwas irritiert, weil Du Deine Frage kommentarlos auf unbeantwortet gestellt hast, ohne in irgendeiner Weise auf ullims Korrektur einzugehen.
Ich weiß nicht, was ich daraus schließen soll.
Hältst Du seinen Einwand für unberechtigt?
> Ich habe bis jetzt die Eigenwerte [mm]\lambda_1[/mm] =
> [mm]\bruch{1+\wurzel{3}}{2}[/mm] und [mm]\lambda_2[/mm] =
> [mm]\Bruch{1-\wurzel{3}}{2}[/mm] ausgerechnet.
> Dann hab ich die Eigenvektoren bestimmt:
> [mm]v_1 =\pmat{ \bruch{1+\wurzel{3}}{2} *a \\
a }[/mm] und [mm]v_2 =\pmat{ \bruch{1-\wurzel{3}}{2} *a \\
a }.[/mm]
Die Eigenwerte sind falsch.
Mal angenommen, sie wären richtig, dann wären etwa
[mm] $v_1 =\pmat{ \bruch{1+\wurzel{3}}{2} \\ 1}$ [/mm] und [mm] $v_2 =\pmat{ \bruch{1-\wurzel{3}}{2} \\ 1 }$
[/mm]
Eigenvektoren zum ersten bzw. zweiten Eigenwert.
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> Und jetzt hab ich irgendwie Probleme mit der
> Aufgabenstellung. Soll ich mir jetzt einfach ein n
> Aussuchen für [mm]A^{n}[/mm] und das mit [mm]v_1[/mm] oder [mm]v_2[/mm]
> multiplizieren?
Nein, Du sollst das allgemein machen. Für n.
Überleg doch erstmal, was bei Matrix*Eigenvektor immer rauskommt.
Dann hast Du sicher schnell die Lösung - Du könntest sie per Induktion beweisen, wenn Du es ganz genau machen willst.
> Und wenn ich irgendeine invertierbare Matrix V nehme, z.B.
> [mm]V=\pmat{ 0 & 1 \\
1 & 1 },[/mm] wie soll ich dann damit [mm]A^{n}[/mm]
> berechnen?
Diesen Teil der Aufgabenstellung finde ich etwas geheimnisvoll.
Richtig wiedergegeben ist er?
Ich würde mal die Matrix V bestimmen, für welche [mm] V^{-1}AV [/mm] eine Diagonalmatrix D ist, also [mm] V^{-1}AV=D.
[/mm]
Hieraus kannst Du dann recht bequem [mm] A^n [/mm] bekommen.
Gruß v. Angela
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