Eigenvektor einer (nxn)-Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Berechnen Sie die Determinante und die Eigenwerte der Telefonmatrix [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 } [/mm] .
b) Berechnen Sie die Eigenwerte der folgenden oberen (nxn)-Dreiecksmatrix und geben Sie einen Eigenvektor zu einem Eigenwert Ihrer Wahl an:
[mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & ... & 0 &a_{nn} } [/mm] . |
Hallo!
Aufgabe a) ist kein Problem. Das liegt bei Aufgabe b) dem 2. Teil:
Die Eigenwerte sind [mm] \lambda_{1}=a_{11}, \lambda_{2}=a_{22}, [/mm] ... , [mm] \lambda_{n}=a_{nn}.
[/mm]
Auch die Gleichung für den Eigenraum bekommen wir hin:
[mm] \pmat{ a_{11} - \lambda & a_{12} & ... & a_{1n} \\ 0 & a_{22}-\lambda & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & ... & 0 &a_{nn}-\lambda } [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] = 0 .
Ich weiß auch, dass wenn ich [mm] \lambda_{1} [/mm] einsetze bekomme ich eine Null-Spalte und wenn ich [mm] \lambda_{n} [/mm] einsetze, bekomme ich eine Null-Zeile.
Nur: was bringt mir das? Wie komme ich zu meinem Eigenvektor? Und welches [mm] \lambda [/mm] wäre besser geeignet?
Grüßle und schon mal DANKE!!!
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damit du den eigenraum berechnen kannst musst du eigentlich nur die gleichung E(λ):=Kern(A-λ*I)
auf den Kern kommst du indem du zuerst (A-λ*I)*x=0 löst
was genau du mit der nullzeile und nullspalte meinst weiß ich nicht. (vermute jedoch dass der rang nicht voll ist)
wichtig ist ob welchen wert der Rang(A-λ*I) hat. daran erkennst du wie viele variablen du für deine werte setzen kannst. wenn der Rang zb um 2 kleiner als n (anzahl der zeilen) ist, kannst du n-2 variablen verwenden um dein gleichungssystem zu lösen. der eigenvektor sollte die form: v=(.,.,.)+s(.,.,.)+t(.,.,.) haben
falls du dann noch hauptvektoren errechnen willst funktioniert das mit: (A-λ*I)h=v
ps: ich setze mal vorraus das du alle grundlegenden begriffe der linearen algebra beherrscht und verstehst
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:09 Do 12.05.2011 | | Autor: | Mathe-Lily |
Danke 
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hoffe du konntest dein problem durch meine anleitung lösen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Do 12.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Berechne mal
$ [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & ... & 0 &a_{nn} } *\vektor{1 \\ 0 \\0 \\.\\ .\\ 0}$
[/mm]
Was kommt raus ? Bist Du zufrieden ?
FRED
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