Eigenvektor aus Matrik < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Do 01.05.2008 | | Autor: | faebs |
| Aufgabe | eigenvektor aus matrix
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0 2 7
0 7 2 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
die lösung sollte doch
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sein, oder?
aber ich versteh das logisch irgendwie nicht. wie komm ich denn da daruf? wieso ist das so? wie bekomm ich das rechnerisch hin?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:46 Do 01.05.2008 | | Autor: | faebs |
ne, in der grundsätzlichen vorgehensweise hab ich eigentlich kein problem, nur meine vorgehensweise funktioniert bei der matrix irgendwie nicht.
hätte ich z.b. eine andere matrix
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0 1 3 | 0
dann hab ich ja rechts meine einheitsmatrix
1 0
0 1
stell mit unter der 4 und der 3 nochmal die einheitsmatrik vor,
1 0 4
0 1 3
1
mach einen vorzeichenwechsel bei 4 und 3 und habe als eigenvektor (hoffe das war einigermassen verständlich)
-4
-3
1
aber bei der oben genannten matrix tut das so nicht. wie lös ich das denn dann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Do 01.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo faebs!
Rechne doch einfach mal mit dieser Matrx der aufgabe vor ... wie lautet Dein charakteristisches Polynom und die entsprechenden Eigenwerte?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Do 01.05.2008 | | Autor: | faebs |
also mein charakteristisches polynom meiner matrix
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0 7 2
0 2 7
wäre doch
[mm] \lambda^3 [/mm] - [mm] 14\lambda^2 [/mm] + [mm] 10\lambda
[/mm]
aber damit komme ich doch zu fuß nicht zu meinem eigenvektor, oder? ich muss doch die matrix "einfach" als gls lösen
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0 7 2 | 0
0 2 7 | 0
hä?? hilfäää!?! wieso nochmal ein charakteristisches polynom? oder hab ich dich da falsch verstanden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Do 01.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo faebs!
> [mm]\lambda^3[/mm] - [mm]14\lambda^2[/mm] + [mm]10\lambda[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier habe ich erhalten: [mm] $-\lambda^3-4*\lambda^2-45*\lambda [/mm] \ = \ 0$ .
> aber damit komme ich doch zu fuß nicht zu meinem
> eigenvektor, oder? ich muss doch die matrix "einfach" als
> gls lösen
Ja, und zwar hier für [mm] $\lambda_1 [/mm] \ = \ 0$ . Daraus folgt dann dieses LGS:
> 0 0 0 | 0
> 0 7 2 | 0
> 0 2 7 | 0
Dann löse dieses LGS mal auf:
$$0*x+0*y+0*z \ = \ 0$$
$$0*x+7*y+2*z \ = \ 0$$
$$0*0+2*y+7*z \ = \ 0$$
Was erhältst Du dann für $y_$ und $z_$ ? Der Wert für $x_$ ist dann frei wählbar.
Gruß
Loddar
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:10 Do 01.05.2008 | | Autor: | faebs |
sehr gut, genau, dann darf ich für mein x alles nehmen, weil egal was * 0 = 0.
aber warum draf ich nicht auch eine 0 für das x wählen?
oder dürfte ich das eigentlich schon, für meine eigentliche aufgabe aber nicht?
der eigenvektor den ich hier erhalte fliesst mit 2 anderen EV nach normierung in eine transformationsmatrix im rahmen einer hautachsentransformation einer quadrik ein.
darf in der transformationsmatrix kein 0-vektor stehen? wieso nicht? was muss die denn erfüllen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 03.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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hallo,
also ich habe jetzt mal meinen alten hefter aus dem grundstudium herausgekramt und versuche mal diese aufgabe zu lösen.
A x = [mm] \lambda [/mm] x x....Eigenvektor zum Eigenwert
[mm] \lambda.....Eigenwert
[/mm]
es gilt: A x - [mm] \lambda [/mm] x =0
(A - [mm] \lambda [/mm] mal Einheitsmatriz) x =0
det (A - [mm] \lambda [/mm] mal Einheitsmatriz) =0
det....Determinante
so, jetzt musst du deine Matriz in Zeilenstufenform bringen und dann hast du ja auf der Diagonalen von oben links nach unten rechts immer was mit [mm] \lambda [/mm] stehen. und das multiplizierst du nun miteinander und müsstest dann auf eine quadratische Gleichung kommen. diese dann lösen und die Nullstellen sind dann deine Eigenwerte.
Nun musst du zu jedem Eigenwert einzeln einen Eigenvektor aufstellen, das machst du mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems.
FERTIG! 
und haste es herausbekommen?
lg
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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