Eigenvektor Rechnung duch rang < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Fr 07.03.2008 | | Autor: | tolgam |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo !
ich habe ein Problem, ich hoffe ihr könnt mir helfen
also es geht um
[mm] A=\pmat{ 5 & 2 & -2 \\ - 8 &-3 & 3 \\ 4 & 2 & -1}
[/mm]
gegeben ist das charakteristische Polynom von A [mm] =\lambda^{3}-\lambda^{2}-\lambda+1
[/mm]
Bestimmung einer Basis des R3, die aus Eigenvektoren von A besteht.
also soweit ich weiss, muss man erstens die lösung vom charakteristischen Polynom finden
es ist [mm] (\lambda-1)(\lambda^{2}-1)=(\lambda-1)^{2}(\lambda^+1)
[/mm]
also [mm] \lambda_{1},\lambda_{1}=1
[/mm]
[mm] A-I=\pmat{ 4 & 2 & -2\\ -8 & -4 & 4\\ 4 & 2 & -2} [/mm] rang =1 bis jetzt kann ich folgen aber
Basis des EigenVraums ist
[mm] V_{1}=\pmat{ 1 & -2 & 0 }
[/mm]
[mm] V_{2}=\pmat{ 1 & 0 & 2 } [/mm] und ich weiss nicht warum ? wie haben wir die gefunden
achso
dim(Kern(A - [mm] \lambda [/mm] En)) = n - Rang(A - [mm] \lambda [/mm] En) (geometrische Vielfachheit des Eigenwerts von [mm] \lambda [/mm] ) soll die formel dafür sein aber es bringt mich auch nicht weiter . ich verstehe schon die formel nicht!
ich würde mich freuen wenn ihr mir die lösung vorführen könntet
danke schon mal !!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo !
>
> ich habe ein Problem, ich hoffe ihr könnt mir helfen
> also es geht um
>
> [mm]A=\pmat{ 5 & 2 & -2 \\ - 8 &-3 & 3 \\ 4 & 2 & -1}[/mm]
> gegeben
> ist das charakteristische Polynom von A
> [mm]=\lambda^{3}-\lambda^{2}-\lambda+1[/mm]
>
> Bestimmung einer Basis des R3, die aus Eigenvektoren von A
> besteht.
>
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> also soweit ich weiss, muss man erstens die lösung vom
> charakteristischen Polynom finden
Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms mußt Du finden.
>
> es ist
> [mm](\lambda-1)(\lambda^{2}-1)=(\lambda-1)^{2}(\lambda^+1)[/mm]
>
> also [mm]\lambda_{1},\lambda_{2}=1[/mm]
Nun berechnest Du den Kern von [mm] A-\lambda [/mm] I, also in Deinem Falle den Kern von A-1* I
>
> [mm]A-I=\pmat{ 4 & 2 & -2\\ -8 & -4 & 4\\ 4 & 2 & -2}[/mm]
> rang =1
> bis jetzt kann ich folgen
Bring die Matrix auf Zeilenstufenform:
[mm] \pmat{ 4 & 2 & -2\\ -8 & -4 & 4\\ 4 & 2 & -2} [/mm] --> [mm] \pmat{ 2 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
Der Kern dieser Matrix sollte Dich interessieren.
Die Matrix steht ja abkürzend für das GS 2x+y-z=0.
Dessen Lösungsraum ist zu bestimmen.
Eigentlich hoffe ich, daß Du weißt, wie das geht...
Sicherheitshalber mache ich es trotzdem vor...
Wir haben jetzt ein homogenes LGS mit einer Gleichung und drei Unbekannten.
Daher können wir zwei Variable frei wählen.
Setzte ich
z:=s
y:=t so ist
x= 1/2*(s-t).
Also haben sämtliche Lösungen die Gestalt [mm] \vektor{x \\ y\\z}=\vektor{1/2*(s-t) \\ t\\ s}=s*\vektor{1/2 \\ 0\\ 1} [/mm] + [mm] t*\vektor{-1/2 \\ 1\\ 0},
[/mm]
dh. der Kern der Matrix wird aufgespannt von [mm] \vektor{1/2 \\ 0\\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{-1/2 \\ 1\\ 0}
[/mm]
Die beiden bilden eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 1. (Natürlich tun das auch die Vielfachen dieser Vektoren, womit wir dann bei den Dir vorliegenden sind.)
>
> Basis des EigenVraums ist
>
> [mm]V_{1}=\pmat{ 1 & -2 & 0 }[/mm]
>
>
> [mm]V_{2}=\pmat{ 1 & 0 & 2 }[/mm]
Nun brauchst Du noch eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert -1, und die beiden Basen zusammengenommen ergeben dann eine Basis des [mm] \IR^3, [/mm] welche aus Eigenvektoren besteht.
Gruß v. Angela
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:47 Fr 07.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur ein Hinweis auf einen Verschreiber an einer Stelle:
> [mm]\pmat{ 4 & 2 & -2\\ -8 & -4 & 4\\ 4 & 2 & -2}[/mm] --> [mm]\pmat{ 2 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Der Kern dieser Matrix sollte Dich interessieren.
>
> Die Matrix steht ja abkürzend für das GS 2x+y+z=0.
Dort sollte natürlich [mm] $2x+y\blue{-}z=0$ [/mm] stehen, aber ich glaube, das war nur ein Verschreiber, den Du in Deinem darauffolgenden Text aber wieder in der "richtigen Variante" benutzt hast 
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Sa 08.03.2008 | | Autor: | tolgam |
hallo angela
erstmal danke für deine schnelle antwort und deine ausführliche erklärung
ich habe nur nicht vestanden wie man von
[mm] \pmat{ 1/2 \\ 0 \\1 } [/mm] und [mm] \pmat{ 1/2 \\ 1 \\ 0 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 0 } [/mm] und [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 }
[/mm]
ausrechnen kann. könntest du mir bitte erklären wie man darauf kommt 
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Hallo tolgam,
> hallo angela
>
> erstmal danke für deine schnelle antwort und deine
> ausführliche erklärung
>
> ich habe nur nicht vestanden wie man von
>
>
> [mm]\pmat{ 1/2 \\ 0 \\1 }[/mm] und [mm]\pmat{ \red{-}1/2 \\ 1 \\ 0 }[/mm]
Achtung, da ist ein VZF beim Abschreiben passiert
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 0 }[/mm] und [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2 }[/mm]
>
> ausrechnen kann. könntest du mir bitte erklären wie man
> darauf kommt
>
Angela hat ja oben vorgerechnet, wie man auf den Kern kommt.
Dieser wird aufgespannt von [mm] $\vektor{\frac{1}{2}\\0\\1}$ [/mm] und [mm] $\vektor{-\frac{1}{2}\\1\\0}$
[/mm]
Im Kern sind also alle Linearkombinationen dieser beiden Vektoren, also [mm] $ker(A)=\left\{\vektor{x\\y\\z}\in\IR^3\mid\vektor{x\\y\\z}=s\cdot{}\vektor{\frac{1}{2}\\0\\1}+t\cdot{}\vektor{-\frac{1}{2}\\1\\0}, s, t\in\IR\right\}$
[/mm]
Der Kern ist also 2dimensional,
mit $s=2$ und $t=0$: [mm] $v_1=2\cdot{}\vektor{\frac{1}{2}\\0\\1}+0\cdot{}\vektor{-\frac{1}{2}\\1\\0}=\vektor{1\\0\\2}$
[/mm]
und mit $s=0$ und $t=-2$: [mm] $v_2=0\cdot{}\vektor{\frac{1}{2}\\0\\1}+(-2)\cdot{}\vektor{-\frac{1}{2}\\1\\0}=\vektor{1\\-2\\0}$
[/mm]
die beiden obigen (Basis-)vektoren. Da sie offensichtlich linear unabhängig sind, bilden sie also eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert [mm] $\lambda=1$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:30 So 09.03.2008 | | Autor: | tolgam |
warum s=2 , t =0 und s=0 t=-2
wurden gewählt
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> ich habe nur nicht vestanden wie man von
>
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> [mm]\pmat{ 1/2 \\ 0 \\1 }[/mm] und [mm]\pmat{ -1/2 \\ 1 \\ 0 }[/mm]
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 0 }[/mm] und [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2 }[/mm]
>
> ausrechnen kann. könntest du mir bitte erklären wie man
> darauf kommt
Hallo,
wie man auf [mm]\pmat{ 1/2 \\ 0 \\1 }[/mm] und [mm]\pmat{ -1/2 \\ 1 \\ 0 }[/mm] kommt, habe ich ja sehr ausführlich vorgerechnet, lies es im Zweifelsfalle nochmals durch.
> warum s=2 , t =0 und s=0 t=-2
> wurden gewählt
Das hat Dir schachuzipus vorgerechnet: weil
[mm] $\vektor{1\\0\\2}=2\cdot{}\vektor{\frac{1}{2}\\0\\1}+0\cdot{}\vektor{-\frac{1}{2}\\1\\0} [/mm] $
und
$ [mm] \vektor{1\\-2\\0}=0\cdot{}\vektor{\frac{1}{2}\\0\\1}+(-2)\cdot{}\vektor{-\frac{1}{2}\\1\\0} [/mm] $
ist.
Es bilden [mm] \pmat{ 1/2 \\ 0 \\1 }und \pmat{ -1/2 \\ 1 \\ 0 } [/mm] wie vorgerechnet eine Basis des Lösungsraumes.
Ob Du nun diese beiden Vektoren als Basis nimmst, oder Vielfache (in diesem Fall das 2- bzw. -2-fache)davon, ist egal.
Wenn Du magst, kannst Du ja mal folgendes zeigen:
wenn zwei Vektoren a,b linearunabhängig sind, sind auch 2a und -2b linear unabhängig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 So 09.03.2008 | | Autor: | tolgam |
die zwei vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2 } [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 0 } [/mm] liegen mir nicht vor (normaleweise). die sind ergebnisse von der frage. ich habe sie nur geschrieben damit ich meine frage formulieren kann. d.h. ich muss auf diese ergebnisse kommen.
also wie man auf [mm] \vektor{1/2 \\ 0 \\ 1 } [/mm] und [mm] \vektor{ -1/2 \\ 1 \\ 0 } [/mm] kommt habe ich vestanden ,
$ [mm] ker(A)=\left\{\vektor{x\\y\\z}\in\IR^3\mid\vektor{x\\y\\z}=s\cdot{}\vektor{\frac{1}{2}\\0\\1}+t\cdot{}\vektor{-\frac{1}{2}\\1\\0}, s, t\in\IR\right\} [/mm] $ ist auch ok.
Der Kern ist also 2dimensional.
aber was muss ich danach machen ?
warum setze ich s=2 und t=0 ? wie wurden die zahlen bestimmt ?
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> also wie man auf [mm]\vektor{1/2 \\ 0 \\ 1 }[/mm] und [mm]\vektor{ -1/2 \\ 1 \\ 0 }[/mm]
> kommt habe ich vestanden ,
Gut.
Damit hast Du diese Teilaufgabe dann gelöst:
[mm] (\vektor{1/2 \\ 0 \\ 1 }, \vektor{ -1/2 \\ 1 \\ 0 }) [/mm] ist eine(!) Basis des Eigenraumes.
Welche der vielen möglichen Basen dieses Eigenraumes Du angibst, ist völlig unerheblich.
Für diese Teilaufgabe gibt es sehr viele richtige Lösungen - eine haben wir gefunden.
Alles andere, mit s und t und Vielfachen und so, diente nur dazu, Dich davon zu überzeugen, daß sich die Lösung Deines Skriptes und die errechnete nicht wesentlich unterscheiden.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 So 09.03.2008 | | Autor: | tolgam |
endlich habe ich jetzt vestanden.
also man gibt für s und t eine beliebige zahl und das ergebnis davon ist eine von der ergebnissmengen
ich danke euch beiden
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