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Hallo,
gesucht ist der Eigenvektor der Martix [mm] \pmat{ 10 & -3 \\ 18 & -5 }
[/mm]
Nach langem durchstöbern sämtl. Foren habe ich Eigenwerte schonmal errechnet und weiss nun auch wie das geht:
Ein Eigenwert der Matrix ist -1. Daraus soll nun ein Eigenvektor berechnet werden und hier komm ich überhaupt nicht weiter. Ich habe folgenden Ansatz:
[mm] \pmat{ 10 & -3 \\ 18 & -5 } [/mm] - [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }. [/mm] Daraus folgt:
[mm] \pmat{ 10-1 & -3 \\ 18 & -5-1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 9 & -3 \\ 18 & -6 }.
[/mm]
der Eigenvektor wäre doch jetzt eigentlich [mm] \pmat{ 1 \\ 3 }. [/mm] Laut meinem Ergebnis ist der aber genau umgekehrt [mm] \pmat{ 3 \\ 1 }! [/mm] Ich hoffe es ist irgendein Rechenfehler im angegebem Ergebnis. Ist das denn überhaupt auch so richtig gerechnet?? Das ist das erste Mal, dass ich mit der Art der Rechnung überhaupt ein annähernd richtiges Ergebnis habe...
LG
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> Hallo,
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> gesucht ist der Eigenvektor der Martix [mm]\pmat{ 10 & -3 \\ 18 & -5 }[/mm]
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> Nach langem durchstöbern sämtl. Foren habe ich Eigenwerte
> schonmal errechnet und weiss nun auch wie das geht:
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> Ein Eigenwert der Matrix ist -1.
Hallo,
nein, [mm] \red [/mm] {+}1
> Daraus soll nun ein
> Eigenvektor berechnet werden und hier komm ich überhaupt
> nicht weiter. Ich habe folgenden Ansatz:
>
> [mm]\pmat{ 10 & -3 \\ 18 & -5 }[/mm] - [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }.[/mm]
> Daraus folgt:
> [mm]\pmat{ 10-1 & -3 \\ 18 & -5-1 }[/mm] = [mm]\pmat{ 9 & -3 \\ 18 & -6 }.[/mm]
Richtig. Hiervon ist der Kern zu berechnen.
Die Zeilenstufenform der Matrix ist [mm] \pmat{ 3 & -1 \\ 0 & 0 }.
[/mm]
> der Eigenvektor wäre doch jetzt eigentlich [mm]\pmat{ 1 \\ 3 }.[/mm]
Ja.
> Laut meinem Ergebnis ist der aber genau umgekehrt [mm]\pmat{ 3 \\ 1 }![/mm]
Ich weiß nicht, woher Du den hast, möglicherweise hast Du aus der ZSF verkehrte Schlüsse gezogen.
[mm] \pmat{ 3 & -1 \\ 0 & 0 } [/mm] ist die Koeffizientenmatrix für
[mm] 3x_1-x_2=0.
[/mm]
Ich kann eine Variable frei Wählen, etwa [mm] x_1=t, [/mm] dann ist [mm] x_2=3x_1=3t,
[/mm]
und alle Vektoren, die die Gleichung lösen, haben die gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2}=\vektor{t\\3t}=t\vektor{1\\3}.
[/mm]
Der Vektor [mm] \vektor{1\\3} [/mm] ist eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 1.
Jetzt kannst Du ja mal einen Versuch mit dem anderen Eigenwert machen.
Gruß v. Angela
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