Eigenvektor < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:25 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Vicky89 |
Hallo,
also eigentlich weiß ich, wie man Eigenvektoren bestimmt, nur komme ich grade nicht so wirkklich weiter.
Ich habe folgende Matrix
[mm] \pmat{ 0 & 9 & 0\\ -4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 }
[/mm]
Und habe dazu die Eigenwerte 6i und -6i berechnet (Und eben -1)
Jetzt wollte ich die zugehörigen Eigenvktoren berechnen, komme aber bei den komplexen beim auflösen nicht weiter.
komme auf dieses gleichungssystem
-6ix1 + 9x2 = 0
-4x1 - 6i x2 = 0
-7ix3 = 0
habe die obere zeile mit 2/3 multipliziert und von der zweiten abgezogen und komme somit auf -6ix2 - 6 x2 = 0
ich weiß, dass ich am ende auf 2/3 i kommen muss, aber irgendwie ist mir nicht ganz so klar, wir das das jetzt weiter auflösen kann...
vielleicht ist es ganz leicht, aber ich sehe grade irgendwie kein licht..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:07 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
die dritte Zeile
> -7ix3 = 0
deines Gleichungssystems ist falsch, beeinflusst das Ergebnis aber nicht.
Wenn du [mm] x_1 [/mm] eliminieren willst, musst du die erste Zeile nicht mit 2/3, sondern mit 2/(3i) multiplizieren und von der zweiten subtrahieren.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:41 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Vicky89 |
danke für deine antwort.
ohja, ich sehe, dass die dritte zeile falsch ist.
gut, wenn ich mit 2/(3i) multipliziere, habe ich
-6ix2-6/i x2 =0
nur leider komme ich damit auch nicht wirklich weiter...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:55 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
doch, du kommst weiter.
Was ist denn 6/i in der Form a+bi ?
Welche Auswirkung hat das auf deine Gleichung ?
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Vicky89 |
-6i? stimmt das?
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Hallo Vicky89,
> -6i? stimmt das? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, prinzipiell kannst du in [mm]\frac{z}{w}[/mm] den Nenner stets reell machen, wenn du mit seinem komplex Konjugierten erweiterst, denn [mm]w\cdot{}\overline{w}\in\IR[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Vicky89 |
hmm, aber irgendwie komme ich dann auch nicht auf das ergebnis.
dann habe ich ja -6ix2 - (-6ix2) = 0
wie komme ich denn da für x2 auf 2/3 i ?
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Hallo Vicki89,
> hmm, aber irgendwie komme ich dann auch nicht auf das
> ergebnis.
> dann habe ich ja -6ix2 - (-6ix2) = 0
> wie komme ich denn da für x2 auf 2/3 i ?
Gut, Du erhältst nach Eliminiation von [mm]x_{1}[/mm] eine Nullzeile.
Das heisst zwei Gleichungen sind Vielfache voneinander,
(hier sind das die 1. und 2. Zeile).
Daher kannst Du das [mm]x_{2}[/mm] auch aus der Gleichung
[mm]-4*x_{1}-6i*x_{2}=0[/mm]
ermitteln.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Vicky89 |
wie soll ich denn x2 ohne weitere zeile ermitteln?!
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Hallo Vicky89,
> wie soll ich denn x2 ohne weitere zeile ermitteln?!
Nun, da die 1. und 2. Zeile Vielfache voneinander sind.
erhältst [mm]\infty[/mm]-viele Lösungen.
Aus der Gleichung
[mm] -4\cdot{}x_{1}-6i\cdot{}x_{2}=0 [/mm]
erhältst Du dann [mm]x_{2}[/mm] in Abhängigkeit von [mm]x_{1}[/mm].
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Vicky89 |
ja, das ist ja eigentlich logisch...
und wenn ich jetzt exp(tA) berechnen will ,kann ich dann irgendeinen vektor weiter verwenden?
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Hallo Vicky89,
> ja, das ist ja eigentlich logisch...
> und wenn ich jetzt exp(tA) berechnen will ,kann ich dann
> irgendeinen vektor weiter verwenden?
Sicher.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Vicky89 |
gut. erstmal danke für die ganzen antworten.
jetzt habe ich aber noch ein frage zu einer anderen aufgabe.
Da habe ich die Matrix
A= [mm] \pmat{ 4 & 1 & 0\\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2}
[/mm]
Als Eigenwerte habe ich 2, 4, 4
Die Eigenvektoren dazu sind [mm] \vektor{ 0\\ 0\\1} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Ich will jetzt wieder exp(tA) berechnen.
Komme dazu auf die Matrix
[mm] \pmat{ 0 & e^{4t} & e^{4t}\\ 0 & 0 & 0 \\ e^{2t} & 0 & 0}
[/mm]
jetzt muss ich ja das inverse dazu bilden. durch die nullzeile klappt das aber nicht.
wie genau funktioniert das jetzt? muss ich den eigenwert 4 überhaupt 2mal berücksichtigen? kann ich die abhängigen zeilen streichen? kommt am ende nur eine 2x2 matrix raus??
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Hallo Vicky89,
> gut. erstmal danke für die ganzen antworten.
>
>
> jetzt habe ich aber noch ein frage zu einer anderen
> aufgabe.
> Da habe ich die Matrix
>
> A= [mm]\pmat{ 4 & 1 & 0\\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2}[/mm]
>
> Als Eigenwerte habe ich 2, 4, 4
> Die Eigenvektoren dazu sind [mm]\vektor{ 0\\ 0\\1}[/mm] und
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
Da fehlt noch ein Eigenvektor.
Gut, Eigenvektoren 1. Stufe bekommst nur 2.
>
> Ich will jetzt wieder exp(tA) berechnen.
> Komme dazu auf die Matrix
>
> [mm]\pmat{ 0 & e^{4t} & e^{4t}\\ 0 & 0 & 0 \\ e^{2t} & 0 & 0}[/mm]
>
> jetzt muss ich ja das inverse dazu bilden. durch die
> nullzeile klappt das aber nicht.
Berechne doch mal die Lösung von
[mm]y_{1}'=4*y_{1}+y_{2}[/mm]
[mm]y_{2}'=4*y_{2}[/mm]
[mm]y_{3}'=2*y_{3}[/mm]
>
> wie genau funktioniert das jetzt? muss ich den eigenwert 4
> überhaupt 2mal berücksichtigen? kann ich die abhängigen
> zeilen streichen? kommt am ende nur eine 2x2 matrix raus??
Der Eigenwert 4 ist zweimal zu berücksichtigen.
Gruss
MathePower
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