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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Ersty |
| Aufgabe | Berechne den Eigenvektor der Matrix A=
[mm] \pmat{ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -2\\ 2 & -2 & 5 }
[/mm]
Die Eigenwerte sind:
[mm] x_{1} [/mm] = 1
[mm] x_{2} [/mm] = 7 |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum oder Internetseite gestellt.
Hi,
generell ist mir klar wie ich jetzt zu rechnen habe:
(A-x*E)*v= 0
Klammer ausrechnen, LGS auflösen, fertig!
Bei Eigenwert [mm] x_{1} [/mm] krieg ich das auch ohne Probleme hin, ich erhalte mit Gauß einen Eigenvektor, der die Gleichung
A*v=x*v
erfüllt!
Nur der 2te Eigenwert bereitet mir Kopfschmerzen:
(A-x*E)*v= 0
ich erhalte:
[mm] \pmat{ -5 & -1 & 2 \\ -1 & -5 & -2\\ 2 & -2 & -2 } [/mm] *v = 0
Jetzt lässt sich das mit Gauß auflösen, es kommt aber der Nullvektor als Eigenvektor raus, das geht nicht. Man braucht auch gar nicht rechnen, man sieht 1te Zeile + 2* 3te Zeile = 2te zeile [mm] \Rightarrow [/mm] Bei Gauß kommt eine Nullzeile zustande! Das aber nur am Rande.
Jetzt die Frage, wie löse ich diese Matrix auf, dass ich einen vom Nullvektor verschiedenen Eigenvektor erhalte.
Laut Wikipedia geht das so:
http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwert
Die reden von einer oberen Dreiecksform. Ich kenne das Schema dazu nicht, kann es mir jemand erklären?
Ich komm da immer nur auf dusselige Ergebnisse und ich habs jetzt oft gerechnet!
Wer kann mir helfen?
Vielen Dank schonmal!! Ihr helft mir enorm!
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Hallo Ersty,
> Berechne den Eigenvektor der Matrix A=
> [mm]\pmat{ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & -2\\ 2 & -2 & 5 }[/mm]
> Die
> Eigenwerte sind:
> [mm]x_{1}[/mm] = 1
> [mm]x_{2}[/mm] = 7 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum oder
> Internetseite gestellt.
>
> Hi,
> generell ist mir klar wie ich jetzt zu rechnen habe:
>
> (A-x*E)*v= 0
>
> Klammer ausrechnen, LGS auflösen, fertig!
> Bei Eigenwert [mm]x_{1}[/mm] krieg ich das auch ohne Probleme hin,
> ich erhalte mit Gauß einen Eigenvektor, der die Gleichung
> A*v=x*v
> erfüllt!
>
> Nur der 2te Eigenwert bereitet mir Kopfschmerzen:
>
> (A-x*E)*v= 0
>
> ich erhalte:
> [mm]\pmat{ -5 & -1 & 2 \\ -1 & -5 & -2\\ 2 & -2 & -2 }[/mm] *v = 0
>
> Jetzt lässt sich das mit Gauß auflösen, es kommt aber der
> Nullvektor als Eigenvektor raus, ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") das geht nicht. Man
> braucht auch gar nicht rechnen, man sieht 1te Zeile + 2*
> 3te Zeile = 2te zeile [mm]\Rightarrow[/mm] Bei Gauß kommt eine
> Nullzeile zustande!
So muss es ja auch sein, wenn du keine Nullzeile erhieltest, so gäbe es nur die triviale Lösung [mm] $\vec{v}=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Ein homogenes (quadrat.) LGS ist ja immer lösbar, der Nullvektor löst es immer, das ist halt genau der Fall, wenn die Matrix invertierbar ist, also vollen Rang hat. Nur, wenn hier der Rang < 3 ist, du also eine Nullzeile erhältst, hat es unendlich viele Lösungen und damit insbesondere auch eine Lösung [mm] $\vec{v}\neq\vektor{0\\0\\0}$.
[/mm]
> Das aber nur am Rande.
>
> Jetzt die Frage, wie löse ich diese Matrix auf, dass ich
> einen vom Nullvektor verschiedenen Eigenvektor erhalte.
> Laut Wikipedia geht das so:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwert
> Die reden von einer oberen Dreiecksform. Ich kenne das
> Schema dazu nicht, kann es mir jemand erklären?
> Ich komm da immer nur auf dusselige Ergebnisse und ich
> habs jetzt oft gerechnet!
Würde mich mal interessieren, wie du es gerechnet hast ...
Nun, Ziel ist es, die Matrix [mm] $(A-7\cdot{}\mathbb{E}_3)=\pmat{ -5 & -1 & 2 \\ -1 & -5 & -2\\ 2 & -2 & -2 }$ [/mm] in Zeilenstufenform, also auf obere Dreiecksform zu bringen.
Dazu sind 3 Typen von elementaren Zeilenumformungen erlaubt:
(1) Vertauschen von zwei Zeilen
(2) Addition eines beliebigen Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile
(3) Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar (einer Zahl) [mm] \neq [/mm] 0
Damit versuchen wir, zunächst alle Einträge unterhalb des Eintrags [mm] $a_{11}$ [/mm] zu eliminieren, also zu 0 zu machen
Dazu addieren wir mal die 1.Zeile zum (-5)-fachen der 2.Zeile (gem. Typ (2))
Das gibt
[mm] $\pmat{ -5 & -1 & 2 \\ 0 & 24 & 12\\ 2 & -2 & -2 }$
[/mm]
Nun weiter (wieder nach Typ (2)): addiere das 2-fache der 1.Zeile zum 5-fachen der 3.Zeile, das gibt nun
[mm] $\pmat{ -5 & -1 & 2 \\ 0 & 24 & 12\\ 0 & -12 & -6 }$
[/mm]
Nach Typ (3) nun 2.Zeile [mm] \cdot{}\frac{1}{12}
[/mm]
[mm] $\pmat{ -5 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 1\\ 0 & -12 & -6 }$
[/mm]
Nun müssen wir nur noch den Eintrag unterhalb von [mm] $a_{22}=2$ [/mm] eliminieren, addieren wir dazu das 6-fache der 2.Zeile zur 3.Zeile
[mm] $\pmat{ -5 & -1 & 2 \\ \red{0} & 2 & 1\\ \red{0} & \red{0} & 0 }$ [/mm] ist nun obere [mm] \triangle-Matrix
[/mm]
Zurückübersetzt in Gleichungen haben wir nun 2 Gleichungen in den 3 Unbekannten [mm] $v_1,v_2,v_3$, [/mm] nämlich
(I) [mm] $-5v_1-v_2+2v_3=0$
[/mm]
(II) [mm] $0\cdot{}v_1+2v_2+v_3=0$
[/mm]
(III) [mm] $0\cdot{}v_1+0\cdot{}v_2+0\cdot{}v_3=0$
[/mm]
Also
(I) [mm] $-5v_1-v_2+2v_3=0$
[/mm]
(II) [mm] $2v_2+v_3=0$
[/mm]
(III) $0=0$
Du hast also einen frei wählbaren Parameter, setze [mm] $v_3=t$ [/mm] mit [mm] $t\in\IR$
[/mm]
Dann kannst du durch Rückwärtseinsetzenm beginnend mit (II) [mm] $v_2$ [/mm] und [mm] $v_1$ [/mm] in Abh. von $t$ berechenen und so sie Lösungsgesamtheit des Kernes von [mm] $(A-7\cdot{}\mathbb{E}_3)$ [/mm] bestimmen.
Das nennt man auch den Eigenraum zum Eigenwert 7
Irgendeine Lösung [mm] $\vec{v}=\vektor{v_1\\v_2\\v_3}\neq\vektor{0\\0\\0}$ [/mm] daraus kannst du als Eigenvektor hernehmen
> Wer kann mir helfen?
> Vielen Dank schonmal!! Ihr helft mir enorm!
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:06 Di 20.01.2009 | | Autor: | Ersty |
Alles klar, vielen Dank erstmal!
Ich hab meinen Fehler selbst gefunden:
Genau wie du hatte ich nen Vektor in Abhängigkeit einer Variablen, ich habs jetzt x genannt.
Ich erhalte dann den Vektor [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 2} [/mm] (ohne Abhängigkeit aufgeschrieben)
Ich habs nur mit der falschen Matrix multipliziert *autsch*
A* v = 7*v und für v den Vektor oben einsetzen.
Vielen Dank!
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