Eigenschaften von Vektorräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 So 03.11.2013 | | Autor: | Triops |
Sei $K$ ein Vektorraum. Es ist zu zeigen, daß es für alle [mm] $n\in \IN$ [/mm] und Vektoren [mm] $v_{1},...,v_{n}\in [/mm] K$ _genau_ einen Vektor [mm] $\summe_{i=1}^{n}v_{i}\in [/mm] K$ gibt, damit gegebene Eigenschaften erfüllt seien.
1. Eigenschaft: [mm] $\summe_{i=1}^{1}v_{i}=v_{1}$
[/mm]
2. Eigenschaft: [mm] $\summe_{i=1}^{2}v_{i}=v_{1}+v_{2}$
[/mm]
3. Eigenschaft: [mm] $\forall k\in \IN >0$:\summe_{i=1}^{n}v_{i}=\summe_{i=1}^{k}v_{i}+\summe_{i=1}^{n-k}v_{i+k}$
[/mm]
Guten Abend!
Ich grübel schon seit einer Weile an dieser Aufgabe, weil sie mir auf den ersten Blick trivial erscheint und ich nicht so recht weiß, wie man jenen Zusammenhang zwischen Vektoren eines Vektorraums formal zeigen kann.
Was ich mir überlegt habe, ist, daß [mm] $\summe_{i=1}^{n}v_{i}$ [/mm] eine Linearkombination der Form [mm] $\summe_{i=1}^{n}a_{i} v_{i}$ [/mm] mit [mm] \forall i\in \IN:a_{i}=1, [/mm] und daher ein Element der linearen Hülle von $K$ ist, in der jedes Element eindeutig definiert ist.
Ist das der richtige Ansatz, dies zu zeigen, oder gibt es einen besseren Weg?
Vielen Dank vorab für eure Zeit!
Gruß!
Tenzing
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 So 03.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei Eigenschaften steht doch gar nichts als die Summe ausgeschrieben? steht das so in der Aufgabe?
oder hast du das so genannt? was sind denn gegebene Eigenschaften?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 So 03.11.2013 | | Autor: | Triops |
Es liegt noch eine dritte Eigenschaft vor, die ich der Ausgangsfrage hinzugefügt habe.
Ich wollte sie am Anfang noch nicht hinzufügen, weil ich dachte, die ersten beiden Eigenschaften ließen sich hier diskutieren und ich könnte dann unabhängig die dritte Eigenschaft zeigen.
Sonst aber gab es keine weiteren Anmerkungen zu dieser Aufgabe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 So 03.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es liegt noch eine dritte Eigenschaft vor, die ich der
> Ausgangsfrage hinzugefügt habe.
> Ich wollte sie am Anfang noch nicht hinzufügen, weil ich
> dachte, die ersten beiden Eigenschaften ließen sich hier
> diskutieren und ich könnte dann unabhängig die dritte
> Eigenschaft zeigen.
>
> Sonst aber gab es keine weiteren Anmerkungen zu dieser
> Aufgabe.
Wenn ich die Aufgabe richtug verstehe, wird hier die Summe $ [mm] \summe_{i=1}^{n}v_{i}\in [/mm] K $ induktiv definiert.
Du sollst zeigen, dass $ [mm] \summe_{i=1}^{n}v_{i}\in [/mm] K $ wohldefiniert ist.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:26 So 03.11.2013 | | Autor: | Triops |
Habe ich etwas in dieser Richtung vergessen oder reicht dieses Beweisverfahren aus?
Ich wende die vollständige Induktion an:
Behauptung: [mm] $\forall n\in \IN :\forall v_{1},...,v_{n}\in [/mm] K: [mm] \summe_{i=1}^{n}v_{i}\in [/mm] K$
Beweis (vollständige Induktion):
IA:
i.) $n=1$ : [mm] $\summe_{i=1}^{1}v_{i}=v_{1}$
[/mm]
ii.) $n=2$ : [mm] $\summe_{i=1}^{2}v_{i}=v_{1}+v_{2}$
[/mm]
IV:
Angenommen, [mm] $\summe_{i=1}^{n}v_{i}=\summe_{i=1}^{k}v_{i}+\summe_{i=1}^{n-k}v_{i+k}$ [/mm] gelte für [mm] $n\in \IN$
[/mm]
Dann ist zu zeigen: [mm] $\summe_{i=1}^{n+1}v_{i}=\summe_{i=1}^{k}v_{i}+\summe_{i=1}^{n-k+1}v_{i+k}$
[/mm]
IS:
[mm] $\summe_{i=1}^{n+1}v_{i}=\summe_{i=1}^{n}v_{i}+v_{n+1} [/mm] =(IV)= [mm] \summe_{i=1}^{k}v_{i}+\summe_{i=1}^{n-k}v_{i+k}+v_{n+1}$
[/mm]
[mm] $=\summe_{i=1}^{k}v_{i}+\summe_{i=k+1}^{n}v_{i}+v_{n+1}$
[/mm]
[mm] $=\summe_{i=1}^{k}v_{i}+\summe_{i=k+1}^{n+1}v_{i}$
[/mm]
[mm] $=\summe_{i=1}^{k}v_{i}+\summe_{i=1}^{n-k+1}v_{i+k}$ \Box
[/mm]
Den Begriff der Wohldefiniertheit kenne ich bisher nur im Zusammenhang von Äquivalenzrelationen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 05.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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