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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Di 27.11.2012 | | Autor: | Neongelb |
| Aufgabe | Sei [mm] \le [/mm] eine Ordnung auf Y. Betrachten Sie die Relation [mm] \le [/mm] (dieses Zeichen ist etwas geschweift) auf X, die folgendermaßen gegeben sei: [mm] x_{1} \le [/mm] (geschweift) [mm] x_{2} [/mm] genau dann, wenn [mm] {f(x_{1}) \le f(x_{2})}.
[/mm]
1. Entscheiden, ob [mm] \le [/mm] (geschweift) reflexiv, antisymmetrisch oder transitiv ist.
2. Für welche Abbildugen f ist [mm] \le [/mm] (geschweift) eine Ordnung auf X? |
Hey, ich habe die Aufgabe zwar gelöst, jedoch bin ich mir sehr unsicher welchen Stellenwert das geschweifte [mm] \le [/mm] hat.
Meine Lösung:
zu 1. reflexiv, weil natürlich [mm] {f(x_{1}) \le f(x_{1})} [/mm] gilt, und somit auch [mm] x_{1} \le [/mm] (geschweift) [mm] x_{1}
[/mm]
antisymmetrisch: Sei [mm] x_{1} \le [/mm] (geschweift) [mm] x_{2}, [/mm] so ist [mm] {f(x_{1}) \le f(x_{2})}. [/mm] Gilt auch [mm] {f(x_{2}) \le f(x_{1})}, [/mm] dann muss [mm] {f(x_{1}) = f(x_{2})} [/mm] sein und somit auch [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}.
[/mm]
transitiv, da: Sei [mm] x_{1} \le [/mm] (geschweift) [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{2} \le [/mm] (geschweift) [mm] x_{3}, [/mm] so ist [mm] {f(x_{1}) \le f(x_{2})} [/mm] und [mm] {f(x_{2}) \le f(x_{3})}. [/mm] Deshalb muss auch [mm] {f(x_{1}) \le f(x_{3})} [/mm] gelten und damit [mm] x_{1} \le [/mm] (geschweift) [mm] x_{3}
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Grüße
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> Sei [mm]\le[/mm] eine Ordnung auf Y. Betrachten Sie die Relation [mm]\le[/mm]
> (dieses Zeichen ist etwas geschweift) auf X, die
> folgendermaßen gegeben sei: [mm]x_{1} \le[/mm] (geschweift) [mm]x_{2}[/mm]
> genau dann, wenn [mm]{f(x_{1}) \le f(x_{2})}.[/mm]
>
> 1. Entscheiden, ob [mm]\le[/mm] (geschweift) reflexiv,
> antisymmetrisch oder transitiv ist.
> 2. Für welche Abbildugen f ist [mm]\le[/mm] (geschweift) eine
> Ordnung auf X?
> Hey, ich habe die Aufgabe zwar gelöst, jedoch bin ich mir
> sehr unsicher welchen Stellenwert das geschweifte [mm]\le[/mm] hat.
>
> Meine Lösung:
>
> zu 1. reflexiv, weil natürlich [mm]{f(x_{1}) \le f(x_{1})}[/mm]
> gilt, und somit auch [mm]x_{1} \le[/mm] (geschweift) [mm]x_{1}[/mm]
>
> antisymmetrisch: Sei [mm]x_{1} \le[/mm] (geschweift) [mm]x_{2},[/mm] so ist
> [mm]{f(x_{1}) \le f(x_{2})}.[/mm] Gilt auch [mm]{f(x_{2}) \le f(x_{1})},[/mm]
> dann muss [mm]{f(x_{1}) = f(x_{2})}[/mm] sein und somit auch [mm]x_{1}[/mm]
> = [mm]x_{2}.[/mm]
>
> transitiv, da: Sei [mm]x_{1} \le[/mm] (geschweift) [mm]x_{2}[/mm] und [mm]x_{2} \le[/mm]
> (geschweift) [mm]x_{3},[/mm] so ist [mm]{f(x_{1}) \le f(x_{2})}[/mm] und
> [mm]{f(x_{2}) \le f(x_{3})}.[/mm] Deshalb muss auch [mm]{f(x_{1}) \le f(x_{3})}[/mm]
> gelten und damit [mm]x_{1} \le[/mm] (geschweift) [mm]x_{3}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
>
> Grüße
Hallo Neongelb,
0.) das geschweifte Zeichen kann man so schreiben:
[mm] $\preccurlyeq$ [/mm] (drauf klicken !)
Ferner wären noch Präzisierungen zur Aufgabenstellung nötig:
1.) da der Begriff "Ordnungsrelation" (leider) nicht
einheitlich verwendet wird, sollte klar gestellt werden,
von welcher Definition hier ausgegangen werden soll.
Ich vermute, dass die Relation [mm] "\le" [/mm] reflexiv, transitiv und
antisymmetrisch sein soll.
Ist das so richtig ?
2.) f soll offenbar eine Funktion von X nach Y sein (mit
Definitionsbereich X und mit Werten in Y)
Die Frage ist also eigentlich, ob eine (Halb-) Ordnung
auf einer Menge Y durch eine Funktion $\ [mm] f:X\to [/mm] Y$ auf
eine Menge X "vererbt" werden kann.
Im Übrigen sind deine Überlegungen o.k.
LG, Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Di 27.11.2012 | | Autor: | Neongelb |
Okay. Ja, sorry ganz oben steht noch, dass f: X [mm] \to [/mm] Y. Ich denke mit [mm] \le [/mm] ist eine übliche Kleiner-Gleich-Relation also einer Halbordnung gemeint. Also geht meine Lösung in die richtige Richtung?
Hast du mir ebentuell noch einen Tipp zu Aufgabe 2? Da komme ich nicht wirklich voran.
Danke schonmal.
Grüße
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> Okay. Ja, sorry ganz oben steht noch, dass f: X [mm]\to[/mm] Y. Ich
> denke mit [mm]\le[/mm] ist eine übliche Kleiner-Gleich-Relation
> also einer Halbordnung gemeint. Also geht meine Lösung in
> die richtige Richtung?
Ja, sicher.
> Hast du mir ebentuell noch einen Tipp zu Aufgabe 2? Da
> komme ich nicht wirklich voran.
Da muss man nochmals die Frage stellen:
Was genau soll denn mit dem Begriff "Ordnung"
gemeint sein ?
Kannst du das mal noch - anhand deines Skripts - exakt abklären ?
LG, Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:27 Mi 28.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Neongelb,
> antisymmetrisch: Sei [mm]x_{1} \le[/mm] (geschweift) [mm]x_{2},[/mm] so ist
> [mm]{f(x_{1}) \le f(x_{2})}.[/mm] Gilt auch [mm]{f(x_{2}) \le f(x_{1})},[/mm]
> dann muss [mm]{f(x_{1}) = f(x_{2})}[/mm] sein und somit auch [mm]x_{1}[/mm]
> = [mm]x_{2}.[/mm]
Die letzte Folgerung, dass [mm] $x_1=x_2$ [/mm] gelte, stimmt im Allgemeinen nicht. Sie stimmt nur, falls f eine bestimmte Eigenschaft hat...
Viele Grüße
Tobias
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