Eigenschaften von Polynomfkt. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Warum hat jede Gleichung p(x)=0, wenn p(x) ein Polynom mit ungeradem Grad ist, mindestens eine reelle Lösung? |
Hallöchen!
Ich poste hier zum ersten Mal und hoffe, dass ich "hier" richtig bin...
Bei der Suche zu bestimmten Aufgaben bin ich schon häufig auf dieses Forum gestoßen und die Lösungsansätze haben mir wirklich weiter geholfen, dafür vielen Dank!
Nun aber genug off-topic!
Zur eigentlichen Frage hab ich mir Gedanken gemacht:
- geht man einem Polynom mit dem kleinsten ungeraden Grad aus, hat man etwas lineares: [mm]p(x)=x^1[/mm]
- und lineare Funktionen haben immer eine Lösung, wenn p(x)=0
Wie begründe ich das, sodass es mathematisch korrekt ist?
Vielen lieben Dank!
Pepperchen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Pepperchen und erst einmal ganz herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Warum hat jede Gleichung p(x)=0, wenn p(x) ein Polynom mit
> ungeradem Grad ist, mindestens eine reelle Lösung?
> Hallöchen!
> Ich poste hier zum ersten Mal und hoffe, dass ich "hier"
> richtig bin.. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bist du 
> Bei der Suche zu bestimmten Aufgaben bin ich schon häufig
> auf dieses Forum gestoßen und die Lösungsansätze haben mir
> wirklich weiter geholfen, dafür vielen Dank!
> Nun aber genug off-topic!
>
> Zur eigentlichen Frage hab ich mir Gedanken gemacht:
> - geht man einem Polynom mit dem kleinsten ungeraden Grad
> aus, hat man etwas lineares: [mm]p(x)=x^1[/mm]
> - und lineare Funktionen haben immer eine Lösung, wenn
> p(x)=0
Hmm, ein Poynom 1.Grades [mm] $p(x)=a_0+a_1x$ [/mm] kannst du ja elementar umstellen:
[mm] $p(x)=0\gdw a_0+a_1x=0\gdw x=-\frac{a_0}{a_1}$
[/mm]
> Wie begründe ich das, sodass es mathematisch korrekt ist?
Aber das deckt natürlich nur den Grad 1 ab,
Was ist mit nem Polynom wie zB [mm] $p(x)=3x^5-2x^2+5$ [/mm] ?
Wenn ihr das Thema Stetigkeit und den Zwischenwertsatz hattet, lässt es sich bequem, elegant und kurz begründen
Betrachte mal für ein beliebiges Polynom $p(x)$ mit ungeradem Grad die beiden Limiten [mm] $\lim\limits_{x\to-\infty}p(x)$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{x\to\infty}p(x)$ [/mm]
Dann bedenke, dass Polynome als Zusammensetzung aus lauter stetigen (Teil-)Funktionen stetig sind
Dann liefert dir der ZWS sofort das gewünschte Ergebnis
> Vielen lieben Dank!
>
> Pepperchen
Lieben Gruß
schachuzipus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
Wow! Das ging ja echt fix!
Dankeschön! *freu*
Ich muss mich erstmal ein wenig zurecht finden! Die Handhabung mit den Forumsfunktionen ist doch schon anders, als in anderen Foren, die ich kenne...
Stetigkeit habe ich in einer anderen Vorlesung (Elementare Analysis) bereits behandelt, aber mit diesem "Handwerkszeug" kann ich an die obige Klausuraufgabe nicht rangehen, da man die Analysis-Vorlesung in der Regel nach den "Elementaren Funktionen" besucht (Grund fürs Durchfallen: Prüfungsangst und Blackout)
Das heißt also, dass ich anders an die Sache rangehen muss. Ich hab in meinen Unterlagen gewühlt, aber nichts hilfreiches gefunden (oder ich seh den Wald vor lauter Bäumen nicht).
Ist es nicht vielleicht möglich, dass man "mehrere" ungerade Polynome elementar umstellt und dann den Schluss zieht, dass es auch für die Summe der Polynome gilt?
LG
Pepperchen
Off-topic: Smileys, wo krieg ich die denn her?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Mo 18.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Stetigkeit brauchst du nur in dem Sinne, dass die Polynome durchgehende Funktionen sind, also keine Sprungstellen.
jetzt sieh dir [mm] x^k, [/mm] k ungerade an, für negative x ist es negativ, für positive positiv: Folgerung: dazwischen muss es 0 sein.
für [mm] -x^k [/mm] das gleiche Argument nur die Vorzeichen umgekehrt.
wenn du jetzt zu [mm] a*x^k [/mm] weitere [mm] x^n [/mm] mit n<k addierst, spielen die alle, ab irgendeinem x keine Rolle mehr wegen [mm] b*x^n
Gruss leduart
|
|
|
|
