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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Sa 18.03.2006 | | Autor: | junimond |
| Aufgabe 1 | 1.Gibt es ein Polynom mit reellen Koeffizienten,das genau die Nullstellen In(2e),wurzel Pi und 0,047 besitzt und an allen anderen Stellen der Definitonsmenge nur positive Werte besitzt?
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| Aufgabe 2 | 2.Gibt es ein Polynom mit reellen Koeffizienten,das genau die Nullstellen In(2e),wurzel Pi und 0,047 besitzt und an allen anderen stellender definitonsmenge nur positive werte besitzt und vom Grade 100000 (und vom Grade 2003)ist?
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich hab leider keine Ahnung wie ich an diese Aufgabe ran gehen soll.
Hat das vielleicht irgendetwas mit kubischen Funktionen zu tun?
Und wenn ja,was genau sind denn eigentlich kubische Funktionen?
Lg junimond
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Sa 18.03.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo!
Wenn man ein Ploynom mit Nullstellen [mm] a_{1}, a_{2}..., a_{n} [/mm] sucht, könnte man es erstmal auf diese Weise darstellen:
[mm] (a_{1}+x)*(a_{2}+x)*...*(a_{n}+x). [/mm]
Dazu könnte man dann noch ein Paar Terme hinzufügen, damit das Polynom die gewünschten Eigenschaften hat. In deinem Fall würde das so aussehen:
[mm] (x-\ln2e)(x-\wurzel{\pi})(x-0,047) [/mm] ist ein Polynom, das auf jeden Fall die gewünschten Nullstellen besitzt. Jetzt muss man schauen, ob man ein Term so geschickt dazu hinzufügen kann, so dass das ganze auch noch für alle x positiv ist. Jetzt könnte man so vorgehen:
Bestimme a und b, so dass:
[mm] (x-\ln2e)(x-\wurzel{\pi})(x-0,047)(ax+b)\ge [/mm] 0.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Sa 18.03.2006 | | Autor: | junimond |
hi!
Erstmal danke!
Aber,wieso kann man denn ein Polynom mit den Nullstellen [mm] a_{1}, a_{2}..., a_{n} [/mm]
so darstellen:
[mm] (a_{1}+x)*(a_{2}+x)*...*(a_{n}+x) [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Walde |
hi junimond,
[mm] (x-a_1)(x-a_2) [/mm] ist nur eine andere Darstellung von
[mm] x^2-(a_1+a_2)x+a_1a_2
[/mm]
sind aber dieselben Polynome (einfach ausmultiplizieren)
Man kann bei jedem Polynom immer die Nullstellen ausklammern, das machst du z.B bei der Polynomdivision. Kennst du das Verfahren? Probier mal die Polynomdivision [mm] (x^2-(a_1+a_2)x+a_1a_2):(x-a_1) [/mm] und schau mal was rauskommt 
L G walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 So 19.03.2006 | | Autor: | junimond |
guten morgen!
also ich hab mal die Polynomdivision probiert und da kam bei mir :
[mm] (x-a_2) [/mm] raus, aber was sagt mir das jetzt?
ich steh grad irgendwie auf dem schlauch.
wie kommst du denn dadarauf: [mm] x^2-(a_1+a_2)x+a_1a_2 [/mm] ?
und hat das ganze irgentwas mit kubischen funktionen zu tun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 So 19.03.2006 | | Autor: | Fugre |
> guten morgen!
>
> also ich hab mal die Polynomdivision probiert und da kam
> bei mir :
> [mm](x-a_2)[/mm] raus, aber was sagt mir das jetzt?
>
> ich steh grad irgendwie auf dem schlauch.
>
> wie kommst du denn dadarauf: [mm]x^2-(a_1+a_2)x+a_1a_2[/mm] ?
>
> und hat das ganze irgentwas mit kubischen funktionen zu
> tun?
>
Hallo Junimond,
[mm]x^2-(a_1+a_2)x+a_1a_2[/mm] ist das Gleiche wie [mm] $(x-a_1)(x-a_2)$ [/mm] lediglich
in einer anderen Schreibweise.
Gruß
Nicolas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 So 19.03.2006 | | Autor: | Walde |
Hi junimond,
> guten morgen!
>
> also ich hab mal die Polynomdivision probiert und da kam
> bei mir :
> [mm](x-a_2)[/mm] raus, aber was sagt mir das jetzt?
Das sagt dir
[mm] \bruch{x^2-(a_1+a_2)x+a_1a_2}{x-a_1}=x-a_2 [/mm]
bzw. wenn du auf beiden Seiten mit [mm] (x-a_1) [/mm] multiplizierst
[mm] x^2-(a_1+a_2)x+a_1a_2=(x-a_1)(x-a_2)
[/mm]
>
> ich steh grad irgendwie auf dem schlauch.
>
> wie kommst du denn dadarauf: [mm]x^2-(a_1+a_2)x+a_1a_2[/mm] ?
Einfach die Klammern [mm] (x-a_1)(x-a_2) [/mm] ausmultiplizieren.
Das Funktioniert wie bei den Binomischen Formeln, zb. gilt laut 3.Binom. Formel
[mm] x^2-1=(x-1)(x+1) [/mm]
und du hast das Polynom 2.Grades [mm] x^2 [/mm] -1 dirket in seine Linearfaktoren zerlegt. 1 und -1 sind die Nullstellen.
>
> und hat das ganze irgentwas mit kubischen funktionen zu
> tun?
>
Im Prinzip gar nichts. Eine kubische Funktion ist einfach ein Polynom dritten Grades, also [mm] ax^3+bx^2+cx+d [/mm] mit [mm] a\not=0 [/mm] b,c,d [mm] \in \IR. [/mm] (Das sich natürlich auch wieder in Linearfaktoren [mm] (x-n_1)(x-n_2)(x-n_3) [/mm] zerlegen lässt, wenn [mm] n_1, n_2, n_3 [/mm] die Nullstellen sind.)
L G walde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Walde |
hi,
ich würde gerne noch etwas zu dormants Antwort anmerken, sie ist nicht ganz korrekt, denn das gesuchte Polynom muss exakt 3 Nst haben und (ax+b) wäre eine 4. Nst:
[mm] f(x)=((x-\ln2e)(x-\wurzel{\pi})(x-0,047))^2 [/mm] dürfte die Antwort auf 1) sein, denn durch das quadrieren ist sicher gestellt, das f nicht negativ ist.
Ich glaube, dass es kein Polynom für Aufgabe 2) gibt, denn man müsste die 3 Nst die man hat (mehr sind ja nicht erlaubt,denn alle anderen Werte müssen ja positiv, also echt grösser Null sein) wieder mit einem graden Exponenten versehen, damit f nicht negativ ist. Aber da du 3 Nst hast und weder 100000 noch 2003 durch 3 teilbar ist, kriegst du bei
[mm] ((x-\ln2e)(x-\wurzel{\pi})(x-0,047))^n
[/mm]
kein natürliches n, so dass 3 (Polynomgrad innerhalb der Klammer) mal n =100000 ( oder 2003) ergibt.
L G walde
Ich muss mich korrigieren: grad 100000 geht doch, es ist ja nicht gesagt, dass alle Nullstellen denselben Grad haben müssen z.B:
[mm] (x-\ln2e)^2(x-\wurzel{\pi})^2(x-0,047)^{100000-4} [/mm] klappt prima.
Da aber 2003 ein ungerader Grad wäre, dürfte es solch ein Polynom tatsächlich nicht geben, da dann mind eine Nst einen ungeraden Grad hätte und bei dieser Nullstelle dann ein Vorzeichenwechsel wäre.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 Sa 18.03.2006 | | Autor: | dormant |
Hi walde,
danke für die Korrektur! Wer lesen kann ist klar im Vorteil :)
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:33 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Walde |
Ich hatte noch einen Fehler in meiner Antwort, den habe ich jetzt verbessert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 So 19.03.2006 | | Autor: | junimond |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Summe alle Koeffizienten des folgenden Polynoms:
[mm] f(x)=(2x^3-2x^2+3x-2)^2004 [/mm] |
Gibt es dafür irgendeine Formel die ich anwenden muss?
gruß junimond
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 So 19.03.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
Ich wüßte nicht, wenn es so eine Formel gebe. Außer ausmultiplizieren und die Koeffiziente aufsummieren, fällt mir nichts Sinnvolles ein.
Gruß,
dormant
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