Eigenschaften lin. Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien $V, W$ Vektorräume und $ T : V [mm] \to [/mm] W $ eine lineare Abbildung. Beweise die folgenden Eigenschaften:
i) $ [mm] T(0_V) [/mm] = [mm] 0_W [/mm] $ [mm] ($0_V$ [/mm] ist der Nullvektor in $V$. Idem [mm] $0_W$ [/mm] in $W$)
ii) $ T(-v) = -T(v) $ für alle $ v [mm] \in [/mm] V $
iii) $ [mm] T(a_1v_1+\ldots+a_nv_n) [/mm] = [mm] a_1T(v_1)+\ldots+a_nT(v_n) [/mm] $ für alle $ [mm] a_i \in \IR [/mm] $ und alle $ [mm] v_i \in [/mm] V$. |
Hallo :)
Teilaufgabe i):
Hier gilt $ [mm] T(0_V) [/mm] = [mm] 0_W [/mm] $. Das bedeutet ja, wenn ich es richtig verstehe, dass [mm] $0_V$ [/mm] im Kern von T sein muss. Die Definition dessen ist
$ Ker(T) := [mm] \{v \in V | T(v) = \vec{0}\} [/mm] $.
Aus dieser Definition müsste dann folgen ($T(v) = [mm] \vec{0}$), [/mm] dass $v = [mm] 0_v$, [/mm] oder? Hier bin ich mir nicht so sicher.
Teilaufgabe ii):
Ich weiß nicht recht, wie ich das beweisen soll. Denn aus der (Teil-)Definition einer linearen Abbildung folgt ja, dass
$ T(av) = aT(v) $ für $a [mm] \in \IR$ [/mm] und $v [mm] \in [/mm] V$,
oder? Damit gilt natürlich auch, dass
$ T(-1v) = -1T(v) = -T(v) $
ist. Die Frage ist nur, ob ich einfach so sagen darf, "das folgt aus der Definition".
Teilaufgabe iii):
Idem. Der andere Teil der Definition sagt
$ [mm] T(a_1+a_2)=T(a_1)+T(a_2) [/mm] $.
Also gilt auch
$ [mm] T(a_1v_1+\ldots+a_nv_n) [/mm] = [mm] T(a_1v_1)+\ldots+T(a_nv_n) [/mm] $
und zusammen mit der Eigenschaft aus ii)
$ [mm] T(a_1v_1+\ldots+a_nv_n) [/mm] = [mm] T(a_1v_1)+\ldots+T(a_nv_n) [/mm] = [mm] a_1T(v_1) [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_nT(v_n) [/mm] $
für alle [mm] $a_i \in \IR$ [/mm] und alle [mm] $v_i \in [/mm] V$.
Ist das so ok? Wenn nicht, würde ich mich über konkrete Hinweise und Tipps sehr freuen :)
Danke schon mal :)
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Hallo MeMeansMe,
(i) Hallo, viel einfacher. [mm] $0_W [/mm] $ ist ein Element, das durch eine spezielle Eigenschaft definiert ist. Um zu zeigen, dass $ [mm] T0_V=0_W [/mm] $, musst du also nur zeigen, dass $ [mm] T0_V [/mm] $ diese Eigenschaft besitzt.
(ii) Das ist die Frage. Wenn du weißt, dass [mm] $-v=-1\cdot [/mm] v $ mit $1$ Einselement aus dem Körper, dann kann man das so machen. Besser ist es aber, das so wie (i) anzugehen, über die Definition von $-Tv $.
(iii) Die Idee stimmt. Du solltest es aber durch Induktion präzise machen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Hallo, danke für die Antwort.
> Hallo MeMeansMe,
>
> (i) Hallo, viel einfacher. [mm]0_W[/mm] ist ein Element, das durch
> eine spezielle Eigenschaft definiert ist. Um zu zeigen,
> dass [mm]T0_V=0_W [/mm], musst du also nur zeigen, dass [mm]T0_V[/mm] diese
> Eigenschaft besitzt.
Wenn ich es richtig verstehe, hat [mm] $0_W$ [/mm] die Eigenschaft, dass alle Vektoren im Kern von $V [mm] 0_W [/mm] $ ergeben, oder? Aber hiermit habe ich ja gearbeitet. Ich verstehe also nicht ganz, was du meinst :)
>
> (ii) Das ist die Frage. Wenn du weißt, dass [mm]-v=-1\cdot v[/mm]
> mit [mm]1[/mm] Einselement aus dem Körper, dann kann man das so
> machen. Besser ist es aber, das so wie (i) anzugehen, über
> die Definition von [mm]-Tv [/mm].
Wie ist denn $-T(v)$ definiert? Ich bin irritiert, weil ich ja schon eine Definition benutzt habe...
>
> (iii) Die Idee stimmt. Du solltest es aber durch Induktion
> präzise machen.
Ich habe Induktion noch fast nie angewendet, aber ich versuche es einfach mal. Man fängt an:
$ [mm] T(a_1+a_2) [/mm] = [mm] T(a_1) [/mm] + [mm] T(a_2) [/mm] $.
Dann für $n$:
$ [mm] T(a_1+\ldots+a_n) [/mm] = [mm] T(a_1)+\ldots+T(a_n) [/mm] $
Dann muss $ [mm] T(a_1+\ldots+a_{n+1}) [/mm] = [mm] T(a_1+\ldots+a_n+a_{n+1}) [/mm] $ sein. Also:
$ [mm] T(a_1+\ldots+a_{n+1}) [/mm] = [mm] T(a_1+\ldots+a_n+a_{n+1}) [/mm] = [mm] T(a_1) [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] T(a_n) [/mm] + [mm] T(a_{n+1})$
[/mm]
Ist das ok? :P Wenn nicht, hilf mir bitte auf die Sprünge. Ich hab mit sowas kaum Erfahrung.
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
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> Hallo, danke für die Antwort.
>
> > Hallo MeMeansMe,
> >
> > (i) Hallo, viel einfacher. [mm]0_W[/mm] ist ein Element, das durch
> > eine spezielle Eigenschaft definiert ist. Um zu zeigen,
> > dass [mm]T0_V=0_W [/mm], musst du also nur zeigen, dass [mm]T0_V[/mm] diese
> > Eigenschaft besitzt.
>
> Wenn ich es richtig verstehe, hat [mm]0_W[/mm] die Eigenschaft, dass
> alle Vektoren im Kern von [mm]V 0_W[/mm] ergeben, oder? Aber hiermit
> habe ich ja gearbeitet. Ich verstehe also nicht ganz, was
> du meinst :)
Also ich weiß natürlich auch nicht genau, wie deine Definition aussieht. Aber üblicherweise ist [mm] $0=0_W\in [/mm] W$ das eindeutige Element, welches $0+w=w$ und $w+0=w$ für alle [mm] $w\in [/mm] W$ erfüllt. Somit wäre nachzuweisen, dass $T0$ diese Eigenschaft besitzt.
Natürlich kannst du auch dir bereits bekannte Charakterisierungen des Nullobjekts verwenden. Es ist zum Beispiel das Einzige Element mit $0+0=0$.
> > (ii) Das ist die Frage. Wenn du weißt, dass [mm]-v=-1\cdot v[/mm]
> > mit [mm]1[/mm] Einselement aus dem Körper, dann kann man das so
> > machen. Besser ist es aber, das so wie (i) anzugehen, über
> > die Definition von [mm]-Tv [/mm].
>
> Wie ist denn [mm]-T(v)[/mm] definiert? Ich bin irritiert, weil ich
> ja schon eine Definition benutzt habe...
Gegeben [mm] $w\in [/mm] W$ ist $-w$ das eindeutige Element mit $w+(-w)=0$ und $(-w)+w=0$. Wollen wir $T(-v)=-Tv$ zeigen, muss also $Tv+(-Tv)=0$ und $(-TV)+Tv=0$ gelten. Das gilt es zu zeigen.
> > (iii) Die Idee stimmt. Du solltest es aber durch Induktion
> > präzise machen.
>
> Ich habe Induktion noch fast nie angewendet, aber ich
> versuche es einfach mal. Man fängt an:
>
> [mm]T(a_1+a_2) = T(a_1) + T(a_2) [/mm].
>
> Dann für [mm]n[/mm]:
>
> [mm]T(a_1+\ldots+a_n) = T(a_1)+\ldots+T(a_n)[/mm]
>
> Dann muss [mm]T(a_1+\ldots+a_{n+1}) = T(a_1+\ldots+a_n+a_{n+1})[/mm]
> sein. Also:
>
> [mm]T(a_1+\ldots+a_{n+1}) = T(a_1+\ldots+a_n+a_{n+1}) = T(a_1) + \ldots + T(a_n) + T(a_{n+1})[/mm]
>
> Ist das ok? :P Wenn nicht, hilf mir bitte auf die Sprünge.
> Ich hab mit sowas kaum Erfahrung.
Man formuliert das wiefolgt aus:
Behauptung: Für [mm] $n\in\IN$, $(a_i)$, $(v_i)$ [/mm] für [mm] $i=1,\dots,n$ [/mm] Familien von Skalaren bzw. Vektoren gilt: [mm] $T(\sum_{i=1}^n a_iv_i)=\sum_{i=1}^na_iTv_i$.
[/mm]
Induktionsanfang für $n=0$: Die leere Summe ist definiert als $0$, somit ist [mm] $T(\sum_{i=1}^0 a_iv_i)=T0=0=\sum_{i=1}^0a_iTv_i$.
[/mm]
Schluss von $n$ auf $n+1$: Wir nehmen an, dass die Behauptung für $n$ richtig ist, und zeigen, dass sie nun auch für $n+1$ richtig ist:
[mm] $T(\sum_{i=1}^{n+1}a_iv_i)=T(\sum_{i=1}^na_iv_i+a_{n+1}v_{n+1})=T(\sum_{i=1}^na_iv_i)+T(a_{n+1}v_{n+1})=\sum_{i=1}^na_iTv_i+a_{n+1}Tv_{n+1}=\sum_{i=1}^{n+1}a_iTv_i$.
[/mm]
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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> > Hallo, danke für die Antwort.
> >
> > > Hallo MeMeansMe,
> > >
> > > (i) Hallo, viel einfacher. [mm]0_W[/mm] ist ein Element, das durch
> > > eine spezielle Eigenschaft definiert ist. Um zu zeigen,
> > > dass [mm]T0_V=0_W [/mm], musst du also nur zeigen, dass [mm]T0_V[/mm] diese
> > > Eigenschaft besitzt.
> >
> > Wenn ich es richtig verstehe, hat [mm]0_W[/mm] die Eigenschaft, dass
> > alle Vektoren im Kern von [mm]V 0_W[/mm] ergeben, oder? Aber hiermit
> > habe ich ja gearbeitet. Ich verstehe also nicht ganz, was
> > du meinst :)
>
> Also ich weiß natürlich auch nicht genau, wie deine
> Definition aussieht. Aber üblicherweise ist [mm]0=0_W\in W[/mm] das
> eindeutige Element, welches [mm]0+w=w[/mm] und [mm]w+0=w[/mm] für alle [mm]w\in W[/mm]
> erfüllt. Somit wäre nachzuweisen, dass [mm]T0[/mm] diese
> Eigenschaft besitzt.
Und genau solche Dinge sind immer mein Problem. Ich finde einfach keinen Ansatz, so was nachzuweisen. Ich hab jetzt mal Folgendes versucht, aber es sieht irgendwie "schwammig" aus^^
Da gilt
$ 0 + w = w = w + 0 $,
kann man (?) $ 0 = [mm] T0_V [/mm] $ setzen, also:
$ [mm] T0_V [/mm] + w = w $ bzw.
$ w + [mm] T0_V [/mm] = w $.
Jetzt kann man $(-w)$ zu beiden Seiten hinzu addieren und erhält
$ [mm] T0_V [/mm] = 0 $.
Intuitiv würde ich sagen, dass hier was falsch gelaufen ist, aber ich wüsste nicht, was :/
>
> Natürlich kannst du auch dir bereits bekannte
> Charakterisierungen des Nullobjekts verwenden. Es ist zum
> Beispiel das Einzige Element mit [mm]0+0=0[/mm].
>
> > > (ii) Das ist die Frage. Wenn du weißt, dass [mm]-v=-1\cdot v[/mm]
> > > mit [mm]1[/mm] Einselement aus dem Körper, dann kann man das so
> > > machen. Besser ist es aber, das so wie (i) anzugehen, über
> > > die Definition von [mm]-Tv [/mm].
> >
> > Wie ist denn [mm]-T(v)[/mm] definiert? Ich bin irritiert, weil ich
> > ja schon eine Definition benutzt habe...
>
> Gegeben [mm]w\in W[/mm] ist [mm]-w[/mm] das eindeutige Element mit [mm]w+(-w)=0[/mm]
> und [mm](-w)+w=0[/mm]. Wollen wir [mm]T(-v)=-Tv[/mm] zeigen, muss also
> [mm]Tv+(-Tv)=0[/mm] und [mm](-TV)+Tv=0[/mm] gelten. Das gilt es zu zeigen.
Idem hier. Der Ansatz fehlt... Wär cool, wenn du mir etwas auf die Sprünge helfen könntest, wie du es unten getan hast :)
>
> > > (iii) Die Idee stimmt. Du solltest es aber durch Induktion
> > > präzise machen.
> >
> > Ich habe Induktion noch fast nie angewendet, aber ich
> > versuche es einfach mal. Man fängt an:
> >
> > [mm]T(a_1+a_2) = T(a_1) + T(a_2) [/mm].
> >
> > Dann für [mm]n[/mm]:
> >
> > [mm]T(a_1+\ldots+a_n) = T(a_1)+\ldots+T(a_n)[/mm]
> >
> > Dann muss [mm]T(a_1+\ldots+a_{n+1}) = T(a_1+\ldots+a_n+a_{n+1})[/mm]
> > sein. Also:
> >
> > [mm]T(a_1+\ldots+a_{n+1}) = T(a_1+\ldots+a_n+a_{n+1}) = T(a_1) + \ldots + T(a_n) + T(a_{n+1})[/mm]
>
> >
> > Ist das ok? :P Wenn nicht, hilf mir bitte auf die Sprünge.
> > Ich hab mit sowas kaum Erfahrung.
>
>
> Man formuliert das wiefolgt aus:
>
> Behauptung: Für [mm]n\in\IN[/mm], [mm](a_i)[/mm], [mm](v_i)[/mm] für [mm]i=1,\dots,n[/mm]
> Familien von Skalaren bzw. Vektoren gilt: [mm]T(\sum_{i=1}^n a_iv_i)=\sum_{i=1}^na_iTv_i[/mm].
>
> Induktionsanfang für [mm]n=0[/mm]: Die leere Summe ist definiert
> als [mm]0[/mm], somit ist [mm]T(\sum_{i=1}^0 a_iv_i)=T0=0=\sum_{i=1}^0a_iTv_i[/mm].
>
> Schluss von [mm]n[/mm] auf [mm]n+1[/mm]: Wir nehmen an, dass die Behauptung
> für [mm]n[/mm] richtig ist, und zeigen, dass sie nun auch für [mm]n+1[/mm]
> richtig ist:
>
> [mm]T(\sum_{i=1}^{n+1}a_iv_i)=T(\sum_{i=1}^na_iv_i+a_{n+1}v_{n+1})=T(\sum_{i=1}^na_iv_i)+T(a_{n+1}v_{n+1})=\sum_{i=1}^na_iTv_i+a_{n+1}Tv_{n+1}=\sum_{i=1}^{n+1}a_iTv_i[/mm].
Ok, ich denke, das ist deutlich.
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
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> Intuitiv würde ich sagen, dass hier was falsch gelaufen
> ist, aber ich wüsste nicht, was :/
Ja, dass du das was du zeigen willst, schon vorausgesetzt hast. Du könntest es wiefolgt machen:
Überlege dir, dass aus $ w+w=w $ folgt, dass $ w=0$. Wenn du zeigst, dass $ T0+T0=T0$, weißt du also $ T0=0$.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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> > Intuitiv würde ich sagen, dass hier was falsch gelaufen
> > ist, aber ich wüsste nicht, was :/
>
> Ja, dass du das was du zeigen willst, schon vorausgesetzt
> hast. Du könntest es wiefolgt machen:
>
> Überlege dir, dass aus [mm]w+w=w[/mm] folgt, dass [mm]w=0[/mm]. Wenn du
> zeigst, dass [mm]T0+T0=T0[/mm], weißt du also [mm]T0=0[/mm].
>
Ok, ein weiterer Versucht...
Da $ [mm] 0_W \in [/mm] W $ die Eigenschaft
$ [mm] 0_W [/mm] + w = w = w + [mm] 0_W [/mm] $
hat, muss also auch folgen, dass in
$ [mm] (\star) \quad T(0_V) [/mm] + [mm] T(0_V) [/mm] = [mm] T(0_V) [/mm] $
[mm] $T(0_V) [/mm] = 0 $ ist. Wir haben, als es um Vektorräume ging, das Axiom gehabt, dass es eine Element in einem Vektorraum $V$ gibt, sodass gilt
$ x + 0 = x $ für alle $ x [mm] \in [/mm] V $.
Wenn ich dieses Axiom jetzt auf $ [mm] (\star) [/mm] $ anwende, dann muss daraus ja folgen, dass $ [mm] T(0_V) [/mm] = 0 $, soll heißen $ [mm] T(0_V) [/mm] = [mm] 0_W [/mm] $, oder sehe ich das falsch? Wenn das jetzt wieder nicht stimmt, dann weiß ich auch nicht weiter^^
Bei der zweiten Eigenschaft würde ich ähnlich argumentieren. Wenn gilt, dass
$ T(v) + (-T(v)) = 0 $,
dann muss wegen des Kommutationsgesetzes (auch ein Axiom) auch gelten, dass
$ (-T(v)) + T(v) = 0 $.
Ein anderes Axiom besagt, dass es für jedes Element $x$ in einem Vektorraum $V$ ein $ y [mm] \in [/mm] V $ geben muss, sodass gilt
$ x + y = 0 $.
Hieraus müsste dann ja folgen, dass die obigen zwei Behauptungen stimmen. Wiederum: Ich weiß nicht, ob das eine gültige Argumentation wäre.
Und noch was: Wenn $ T(v) + (-T(v)) = 0 = (-T(v)) + T(v) $ gilt, warum gilt dann auch $T(-v) = -T(v) $?
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
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> > > Intuitiv würde ich sagen, dass hier was falsch gelaufen
> > > ist, aber ich wüsste nicht, was :/
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> > Ja, dass du das was du zeigen willst, schon vorausgesetzt
> > hast. Du könntest es wiefolgt machen:
> >
> > Überlege dir, dass aus [mm]w+w=w[/mm] folgt, dass [mm]w=0[/mm]. Wenn du
> > zeigst, dass [mm]T0+T0=T0[/mm], weißt du also [mm]T0=0[/mm].
> >
>
> Ok, ein weiterer Versucht...
>
> Da [mm]0_W \in W[/mm] die Eigenschaft
>
> [mm]0_W + w = w = w + 0_W[/mm]
>
> hat, muss also auch folgen, dass in
>
> [mm](\star) \quad T(0_V) + T(0_V) = T(0_V)[/mm]
>
> [mm]T(0_V) = 0[/mm] ist.
Ja, aber wieso? Tipp: Addiere auf beiden Seiten [mm] $-T0_V [/mm] $!
> Wir haben, als es um Vektorräume ging, das
> Axiom gehabt, dass es eine Element in einem Vektorraum [mm]V[/mm]
> gibt, sodass gilt
>
> [mm]x + 0 = x[/mm] für alle [mm]x \in V [/mm].
>
> Wenn ich dieses Axiom jetzt auf [mm](\star)[/mm] anwende, dann muss
> daraus ja folgen, dass [mm]T(0_V) = 0 [/mm], soll heißen [mm]T(0_V) = 0_W [/mm],
> oder sehe ich das falsch? Wenn das jetzt wieder nicht
> stimmt, dann weiß ich auch nicht weiter^^
>
> Bei der zweiten Eigenschaft würde ich ähnlich
> argumentieren. Wenn gilt, dass
>
> [mm]T(v) + (-T(v)) = 0 [/mm],
>
> dann muss wegen des Kommutationsgesetzes (auch ein Axiom)
> auch gelten, dass
>
> [mm](-T(v)) + T(v) = 0 [/mm].
>
> Ein anderes Axiom besagt, dass es für jedes Element [mm]x[/mm] in
> einem Vektorraum [mm]V[/mm] ein [mm]y \in V[/mm] geben muss, sodass gilt
>
> [mm]x + y = 0 [/mm].
>
> Hieraus müsste dann ja folgen, dass die obigen zwei
> Behauptungen stimmen. Wiederum: Ich weiß nicht, ob das
> eine gültige Argumentation wäre.
>
> Und noch was: Wenn [mm]T(v) + (-T(v)) = 0 = (-T(v)) + T(v)[/mm]
> gilt, warum gilt dann auch [mm]T(-v) = -T(v) [/mm]?
Das ist ja gerade der Punkt, den wir zeigen wollen - Tv ist das eindeutig bestimmte Element, welches zu $ Tv $ addiert Null ergibt. Wenn auch $T (-v) $ diese Eigenschaft hat, müssen die Elemente also übereinstimmen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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> >
> > Ok, ein weiterer Versucht...
> >
> > Da [mm]0_W \in W[/mm] die Eigenschaft
> >
> > [mm]0_W + w = w = w + 0_W[/mm]
> >
> > hat, muss also auch folgen, dass in
> >
> > [mm](\star) \quad T(0_V) + T(0_V) = T(0_V)[/mm]
> >
> > [mm]T(0_V) = 0[/mm] ist.
>
> Ja, aber wieso? Tipp: Addiere auf beiden Seiten [mm]-T0_V [/mm]!
Ok, noch mal [mm] (\star):
[/mm]
$ [mm] (\star) \quad T(0_V) [/mm] + [mm] T(0_V) [/mm] = [mm] T(0_V) [/mm] $
Jetzt auf beiden Seiten $+ [mm] (-T(0_V)) [/mm] $:
$ [mm] T(0_V) [/mm] + [mm] \red{(}-T(0_V)+T(0_V)\red{)} [/mm] = [mm] T(0_V) [/mm] + [mm] (-T(0_V)) [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow T(0_V) [/mm] + 0 = 0 $
Nach dem Assoziativitätsgesetz gilt auch:
$ [mm] \blue{(}T(0_V) [/mm] + [mm] (-T(0_V))\blue{)}+T(0_V) [/mm] = [mm] T(0_V) [/mm] + [mm] (-T(0_V)) [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow 0+T(0_V) [/mm] = 0 $
Also:
$ [mm] T(0_V) [/mm] + [mm] 0_W [/mm] = [mm] T(0_V) [/mm] = [mm] 0_W [/mm] + [mm] T(0_V) [/mm] $
So?
Und vielleicht noch was Anderes. Wenn ich sage, dass
$ [mm] T(0_V) [/mm] = [mm] 0_W [/mm] $,
kann ich dann nicht wieder aus der Definition einer linearen Abbildung heraus argumentieren, dass
$ [mm] T(0*0_V) [/mm] = [mm] 0*T(0_V) [/mm] = [mm] 0_W [/mm] $,
wobei $0$ aus einem Körper $K$ kommt? Das wäre dann irgendwie ein weniger verschlungener Weg^^
>
> > Wir haben, als es um Vektorräume ging, das
> > Axiom gehabt, dass es eine Element in einem Vektorraum [mm]V[/mm]
> > gibt, sodass gilt
> >
> > [mm]x + 0 = x[/mm] für alle [mm]x \in V [/mm].
> >
> > Wenn ich dieses Axiom jetzt auf [mm](\star)[/mm] anwende, dann muss
> > daraus ja folgen, dass [mm]T(0_V) = 0 [/mm], soll heißen [mm]T(0_V) = 0_W [/mm],
> > oder sehe ich das falsch? Wenn das jetzt wieder nicht
> > stimmt, dann weiß ich auch nicht weiter^^
> >
> > Bei der zweiten Eigenschaft würde ich ähnlich
> > argumentieren. Wenn gilt, dass
> >
> > [mm]T(v) + (-T(v)) = 0 [/mm],
> >
> > dann muss wegen des Kommutationsgesetzes (auch ein Axiom)
> > auch gelten, dass
> >
> > [mm](-T(v)) + T(v) = 0 [/mm].
> >
> > Ein anderes Axiom besagt, dass es für jedes Element [mm]x[/mm] in
> > einem Vektorraum [mm]V[/mm] ein [mm]y \in V[/mm] geben muss, sodass gilt
> >
> > [mm]x + y = 0 [/mm].
> >
> > Hieraus müsste dann ja folgen, dass die obigen zwei
> > Behauptungen stimmen. Wiederum: Ich weiß nicht, ob das
> > eine gültige Argumentation wäre.
> >
> > Und noch was: Wenn [mm]T(v) + (-T(v)) = 0 = (-T(v)) + T(v)[/mm]
> > gilt, warum gilt dann auch [mm]T(-v) = -T(v) [/mm]?
>
> Das ist ja gerade der Punkt, den wir zeigen wollen - Tv ist
> das eindeutig bestimmte Element, welches zu [mm]Tv[/mm] addiert Null
> ergibt. Wenn auch [mm]T (-v)[/mm] diese Eigenschaft hat, müssen die
> Elemente also übereinstimmen.
>
Aber ich weiß doch aus der Definition einer linearen Abbildung, dass $T(-v) = -T(v) $. Kann ich dann nicht einfach sagen, dass die Gleichungen oben auch für $-T(v)$ gelten, eben weil das ja aus der Definition folgt?
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
>
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Hallo,
zu (1) siehe meine andere Antwort.
zu(2)
> Aber ich weiß doch aus der Definition einer linearen
> Abbildung, dass [mm]T(-v) = -T(v) [/mm].
Nein, das weißt Du nicht aus der Def. der linearen Abbildung.
Aus der Def. der linearen Abbildung folgt lediglich, daß T((-1)*v)=(-1)*T(v).
Um T(-v)=-T(v) zu zeigen, mußt Du noch eine Eigenschaft von Vektorräumen kennen, die ganz zu Anfang der Vorlesung mal gezeigt wurde:
es ist das Inverse von v, in Zeichen:-v, das Element (-1)*v, also
-v=(-1)*v.
Und wenn Du das ins Feld führst, ist der Beweis der Aussage wirklich einfach.
LG Angela
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> Seien [mm]V, W[/mm] Vektorräume und [mm]T : V \to W[/mm] eine lineare
> Abbildung. Beweise die folgenden Eigenschaften:
>
> i) [mm]T(0_V) = 0_W[/mm] ([mm]0_V[/mm] ist der Nullvektor in [mm]V[/mm]. Idem [mm]0_W[/mm] in
> [mm]W[/mm])
> ii) [mm]T(-v) = -T(v)[/mm] für alle [mm]v \in V[/mm]
> iii)
> [mm]T(a_1v_1+\ldots+a_nv_n) = a_1T(v_1)+\ldots+a_nT(v_n)[/mm] für
> alle [mm]a_i \in \IR[/mm] und alle [mm]v_i \in V[/mm].
> Hallo :)
>
> Teilaufgabe i):
> Hier gilt [mm]T(0_V) = 0_W [/mm]. Das bedeutet ja, wenn ich es
> richtig verstehe, dass [mm]0_V[/mm] im Kern von T sein muss. Die
> Definition dessen ist
>
> [mm]Ker(T) := \{v \in V | T(v) = \vec{0}\} [/mm].
>
> Aus dieser Definition müsste dann folgen ([mm]T(v) = \vec{0}[/mm]),
> dass [mm]v = 0_v[/mm], oder? Hier bin ich mir nicht so sicher.
Hallo,
definitionsgemäß ist, wie Du richtig schreibst,
> [mm]Ker(T) := \{v \in V | T(v) = \vec{0}\} [/mm].
Aber allein davon wissen wir ja noch nicht, daß [mm] 0_V\in [/mm] Kern(T).
Der Schluß
[mm] v\in [/mm] Kern(T)==>[mm]v = 0_V[/mm]
ist falsch.
Betrachte dazu etwa die lineare Abbildung
[mm] f:\IR^2\to\IR^3 [/mm] mit
[mm] f(\vektor{x\\y}):=\vektor{x\\0\\0}.
[/mm]
Es wurde ja schon viel geschrieben hier.
Ich gehe davon aus, daß Du die elementaren Eigenschaften von Vektorräumen verwenden darfst.
Du kannst die Aufgabe z.B. so lösen:
[mm] T(0_V)=T(0_V+0_V)=T(0_V)+T(0_V)
[/mm]
(Verwendet wurde die Def. des neutralen Elementes und die Linearität).
W ist VR, also hat jedes Element aus W ein inverses, also hat auch [mm] T(0_V) [/mm] ein inverses Element [mm] -(T(0_V)).
[/mm]
Addition von [mm] -(T(0_V)) [/mm] liefert:
[mm] 0_W=-(T(0_V))+T(0_V)=-(T(0_V))+(T(0_V)+T(0_V))=(-(T(0_V))+T(0_V))+T(0_V))=0_W+T(0_V)=T(0_V). [/mm]
Deine in einer Deiner anderen Fragen verwendete Idee ist aber auch richtig - und schön kurz:
[mm] T(0_V)=T(0*0_V)=0*T(0_V)=0_W
[/mm]
Hier wird verwendet, daß 0*Vektor=Nullvektor in alles Vektorräumen gilt, und die Linearität.
> Teilaufgabe ii):
> Ich weiß nicht recht, wie ich das beweisen soll. Denn aus
> der (Teil-)Definition einer linearen Abbildung folgt ja,
> dass
>
> [mm]T(av) = aT(v)[/mm] für [mm]a \in \IR[/mm] und [mm]v \in V[/mm],
>
> oder? Damit gilt natürlich auch, dass
>
> [mm]T(-1v) = -1T(v) = -T(v)[/mm]
>
> ist. Die Frage ist nur, ob ich einfach so sagen darf, "das
> folgt aus der Definition".
Es wurde bewiesen, daß in allen Vektorräumen gilt: -v=(-1)*v.
Damit und mit der Linearität hast Du
T(-v)=T((-1)*v)=(-1)*T(v)=-T(v)
und bist fertig.
>
> Teilaufgabe iii):
mit vollständiger Induktion.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:31 Di 30.09.2014 | | Autor: | MeMeansMe |
Fantastisch, jetzt konnte ich die zwei Sachen aneinander linken. Mir fällt es noch etwas schwer, Sätze etc., die wir irgendwann mal gelernt haben, auf jetzige Beweise anzuwenden. Ich hoffe, dass sich das mit der Zeit gibt...
Vielen Dank auf jeden Fall an alle, die mir helfen. Auch stellvertretend für alle anderen Aufgaben, die ich hier poste :P
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