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| Aufgabe | Sei [mm] A\in\IC^{nxn}. [/mm] Zeigen Sie, dass die folgenden vier Bedingungen äquivalent sind:
i) A ist Hermitsch
ii) [mm] \bar{S^t}AS [/mm] ist Hermitsch für alle [mm] S\in\IC^{nxn}
[/mm]
iii) [mm] v^{t}A\bar{v} [/mm] ist reell für alle [mm] v\in\IC^{n}
[/mm]
iv) A ist normal und alle Eigenwerte von A sind reell |
Guten Abend,
ich habe bisher gezeigt:
i) [mm] \gdw [/mm] ii)
Sei A hermitsch, also [mm] A=\bar{A^t},dann [/mm] ist [mm] (\bar{S^t}AS)^{\*}=(S^{t}\bar{A}\bar{S})^{T}=\bar{S^{T}}\bar{A^{T}}S= \bar{S^t}AS
[/mm]
ii) [mm] \Rightarrow [/mm] iv)
Es ist [mm] \bar{S^t}AS [/mm] ist Hermitsch [mm] \gdw [/mm] A ist Hermitsch.
z.z: A ist normal
Es gilt [mm] A^{\*}=A [/mm] dann ist [mm] A^{\*}A=AA=AA^{\*} [/mm]
Weiterhin ist A selbstadjungiert [mm] \Rightarrow [/mm] Jeder Eigenwert von A ist reell. (Haben ein Lemma dazu, das steht da zwar für f, aber das kann man auch auf die Matrix anwenden, richtig?)
iv) [mm] \Rightarrow [/mm] iii)
Nach einem Satz aus der VL ist jeder normale Endomorphismus über [mm] \IC [/mm] diagonalisierbar und hat ONB aus Eigenvektoren,
weiterhin ist nach Voraussetzung jeder EW von A reell. Damit kann man [mm] Av=\lambda{}v [/mm] schreiben. Da alle Eigenwerte reell sind
ist [mm] v^{T}A\bar{v} [/mm] = [mm] s(v,\summe_{i=1}^{n}\lambda{}_{i}\bar{v_i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda{}_{i}v_{i}\bar{v_{i}}=\summe_{i=1}^{n}\lambda{}_{i}|v_i|^{2} [/mm] und damit reell.
iii) [mm] \Rightarrow [/mm] i) kriege ich irgendwie nicht gebacken, hätte Jemand einen Vorschlag für mich?
Und wie sieht der Rest aus, ist das OK?
Gruß helicopter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 17.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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