matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFunktionalanalysisEigenschaften des Funktionals
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Funktionalanalysis" - Eigenschaften des Funktionals
Eigenschaften des Funktionals < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Eigenschaften des Funktionals: Beweisidee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:35 Do 14.04.2011
Autor: DerGraf

Aufgabe
Es seien V ein linearer Raum, [mm] K\subset [/mm] V ein konvexer Kegel mit [mm] 0\in [/mm] K und [mm] k\in [/mm] K\ (-K). Zu zeigen ist: Das Funktional [mm] \phi: V\rightarrow\IR\cup\{\pm\infty\}, [/mm] definiert durch

[mm] \phi(v):=inf\{t\in\IR: tk\in v+K\} [/mm]

ist (a) positiv homogen, (b) subadditiv, (c) konvex und (d) linear auf dem durch k aufgespannten eindimensionalen Teilraum von V, insbesondere ist [mm] \phi(0)=0. [/mm] Weiterhin gilt: [mm] \forall v\in [/mm] V, [mm] \forall r\in\IR:\phi(v+rk)=\phi(v)+r. [/mm]
Diskutiere die Fälle [mm] \phi(v)=\infty [/mm] und [mm] \phi(v)=-\infty! [/mm]

Hallo,

ich kann zwar etwas mit den einzelnen Begriffen anfangen, habe aber beim Zeigen dieser Begriffe Probleme.

Bei der positiven Homogenität bin ich zum Beispiel bei

[mm] \alpha*\phi(v)=inf\{\bruch{t}{\alpha}\in\IR: \bruch{t}{\alpha}k\in \alpha*v+\alpha*K\} [/mm] stecken geblieben. Das [mm] \alpha [/mm] vor dem K stört mich, da [mm] \alpha*K \subseteq [/mm] K ist und nicht = K.

Bei den anderen komme ich ebenfalls nicht weiter.

Ich bin für jede Hilfe dankbar.

Gruß

DerGraf

        
Bezug
Eigenschaften des Funktionals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:16 Fr 15.04.2011
Autor: fred97


> Es seien V ein linearer Raum, [mm]K\subset[/mm] V ein konvexer Kegel
> mit [mm]0\in[/mm] K und [mm]k\in[/mm] K\ (-K). Zu zeigen ist: Das Funktional
> [mm]\phi: V\rightarrow\IR\cup\{\pm\infty\},[/mm] definiert durch
>  
> [mm]\phi(v):=inf\{t\in\IR: tk\in v+K\}[/mm]
>
> ist (a) positiv homogen, (b) subadditiv, (c) konvex und (d)
> linear auf dem durch k aufgespannten eindimensionalen
> Teilraum von V, insbesondere ist [mm]\phi(0)=0.[/mm] Weiterhin gilt:
> [mm]\forall v\in[/mm] V, [mm]\forall r\in\IR:\phi(v+rk)=\phi(v)+r.[/mm]
>  
> Diskutiere die Fälle [mm]\phi(v)=\infty[/mm] und [mm]\phi(v)=-\infty![/mm]
>  Hallo,
>  
> ich kann zwar etwas mit den einzelnen Begriffen anfangen,
> habe aber beim Zeigen dieser Begriffe Probleme.
>  
> Bei der positiven Homogenität bin ich zum Beispiel bei
>  
> [mm]\alpha*\phi(v)=inf\{\bruch{t}{\alpha}\in\IR: \bruch{t}{\alpha}k\in \alpha*v+\alpha*K\}[/mm]


Das ist doch Unsinn !!

Es ist

$ [mm] \phi(\alpha*v):=inf\{t\in\IR: tk\in \alpha*v+K\} [/mm] $   Nun zeige für positives [mm] \alpha: [/mm]

$ [mm] \phi(\alpha*v)= \alpha* \phi(v)$ [/mm]

FRED



> stecken geblieben. Das [mm]\alpha[/mm] vor dem K stört mich, da
> [mm]\alpha*K \subseteq[/mm] K ist und nicht = K.
>  
> Bei den anderen komme ich ebenfalls nicht weiter.
>  
> Ich bin für jede Hilfe dankbar.
>  
> Gruß
>  
> DerGraf


Bezug
                
Bezug
Eigenschaften des Funktionals: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:06 Fr 15.04.2011
Autor: DerGraf

Hallo Fred,

ich habe mich mal an deinem Ansatz versucht, komme aber nicht wirklich weiter:

[mm] \phi(\alpha\cdot{}v) [/mm]
[mm] =inf\{t\in\IR: tk\in \alpha\cdot{}v+K\} [/mm]
[mm] =inf\{t\in\IR: \bruch{t}{\alpha}k\in v+\bruch{1}{\alpha}\cdot K\} [/mm]
[mm] =\alpha\cdot inf\{\bruch{t}{\alpha}\in\IR: \bruch{t}{\alpha}k\in v+\bruch{1}{\alpha}\cdot K\} [/mm]

Setze [mm] z=\bruch{t}{\alpha}: [/mm]

[mm] \alpha\cdot inf\{\bruch{t}{\alpha}\in\IR: \bruch{t}{\alpha}k\in v+\bruch{1}{\alpha}\cdot K\} [/mm]
[mm] =\alpha\cdot inf\{z\in\IR: z\cdot k\in v+\bruch{1}{\alpha}\cdot K\} [/mm]

Und schon stehe ich wieder vor dem gleichen Problem.
Wo ist der Fehler?

Gruß
DerGraf

Bezug
                        
Bezug
Eigenschaften des Funktionals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:18 Fr 15.04.2011
Autor: fred97

Sei t [mm] \in \IR [/mm] mit  

           (*)  $tk [mm] \in \alpha*v+K$ [/mm]

Setze  $s:=t/ [mm] \alpha$. [/mm] Dann ist $sk [mm] \in [/mm] v+ [mm] \bruch{1}{\alpha}K \subseteq [/mm] v+K$. Damit ist

          $ [mm] \phi(v) \le [/mm] s = t/ [mm] \alpha$. [/mm]

Somit ist $ [mm] \alpha* \phi(v) \le [/mm] t$.

t war beliebig mit (*), somit:

     $ [mm] \alpha* \phi(v) \le \phi( \alpha*v)$. [/mm]

Jetzt zeig Du die umgekehrte Ungl.

FRED

Bezug
                                
Bezug
Eigenschaften des Funktionals: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:46 Fr 15.04.2011
Autor: DerGraf

Hallo Fred,

danke für deine Hilfe. Zu der anderen Richtung hatte ich folgende Idee:

[mm] $\alpha*\phi(v)=\alpha\cdot inf\{t\in\IR: tk\in v+K\}=inf\{\alpha\cdot t\in\IR: tk\in v+K\}=inf\{\alpha\cdot t\in\IR: \alpha\cdot tk\in \alpha\cdot v+\alpha\cdot K\}\ge inf\{\alpha\cdot t\in\IR: \alpha\cdot tk\in \alpha\cdot v+K\}=\phi(\alpha\cdot [/mm] v)$

Passt die Rechnung so?

Gruß
DerGraf

Bezug
                                        
Bezug
Eigenschaften des Funktionals: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 So 17.04.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]