Eigenschaften der Winkelfkt. < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:23 Fr 07.12.2012 | | Autor: | mbra771 |
| Aufgabe | Leiten Sie aus den Eigenschaften der Winkelfunktion her:
Für alle [mm] x\in\IR [/mm] gilt [mm] \sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1 [/mm] |
Die Eigenschaften der Winkelfunktionen sind:
1. sin u cos sind auf R def. und stetig
2. sin(-x)=-sin(x) und cos(-x)=cos(x)
3. Die Aditionstheoreme
4. [mm] \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(x)}{x}=1
[/mm]
5. Es ist cos(0)=1
Diese Aufgabe kann ich nicht so 100%ig nachvollziehen. Ich hab direkt an den Einheitskreis gedacht und da ist nun mal klar, daß bei [mm] a^{2}+b^{2}=c^{2} [/mm] auch gelten muß:
[mm] sin^{2}(x)+cos^{2}(x)=1
[/mm]
Ich weiß jetzt aber nicht wie ich das mit den Eigenschaften der Winkelfunktionen zeigen soll. Könnte mir da jemand einen Tip geben?
Danke, Mich
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:30 Fr 07.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
diese eigenschaften, die du aufzählst sind nicht genug um sin und cos zu definieren.
mit sin(x)=x, [mm] cos(x)=1-x^2 [/mm] sind alle deine eigenschaften erfüllt.
Ihr müsst also a) die Reihen haben oder b) eine Dgl wie sin''(x)=-sin(x) sin(0)=0
oder komplexe zahlen?
usw.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:49 Fr 07.12.2012 | | Autor: | mbra771 |
Deshalb bin ich mir auch unsicher. Die Reihen, die sin und cos definieren kommen erst in der nächsten Kurseinheit. Wie bereits geschrieben hätte ich jetzt mit der Eigenschaft 1,
also sin und cos sind in R def. und stetig und mit dem Einheitskreis argumentiert.
Da ich aber eigentlich nur die Formel beweisen soll, sollte ich noch mal nachfragen, ob man nicht z.B. aus den Additionstheoremen die Formel zeigen kann.
Ich hab das auch schon versucht, hat aber nicht geklappt.
Grüße, Mich
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Fr 07.12.2012 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Forum,
der Vollständigkeitshalber möchte ich diese Frage selber beantworten.
Es ist möglich die Formel [mm] 1=sin^2(x)+cos^2(y) [/mm] nur durch die Winkeleigenschaften von sin und cos herzuleiten. Hier die Lösung:
1 = cos(o) = cos(x-x)
Beachten wir das Additionstheorem des cos, dann ist:
cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)
wenn wir jetzt für x=x und für y=-x einsetzen entsteht:
cos(x+-x)=cos(x)cos(-x)-sin(x)sin(-x)
Da sin(-x)=-sin(x) und cos(-x)=cos(x) ist so erhalten wir:
1=cos(0)=cos(x) cos(x)-(-sin(x) sin(x))
[mm] 1=cos^2(x)+sin^2(x)
[/mm]
Tja, so schnell gehen zwei Tage rum, an denen man so eine Aufgabe knacken will 
Ich hoffe das ist noch mal jemandem nützlich,
Micha
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