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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Fr 07.05.2010 | | Autor: | Remo6 |
| Aufgabe | Es seien X offen in [mm] R^m [/mm] und f aus [mm] C^1(X, IR^m) [/mm] (d.h. stetig).
Ferner gebe es ein Alpha > 0 mit
$ |f(x) - f(y)| >= [mm] \alpha [/mm] |x-y| $
(x, y aus X).
Zu zeigen ist, dass Y:= f(X) in [mm] IR^m [/mm] offen ist und f Element von [mm] Diff^1(X,Y) [/mm] ist. Zudem ist zu zeigen, dass fuer [mm] X=IR^m [/mm] auch [mm] Y=IR^m [/mm] gilt.
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Guten Tag, liebes Forum!
Meine Fragen zur obigen Aufgabe sind nun:
1.) X wird ja als offen angenommen, und f ist stetig. Das ist doch genau die Definition eines Diffeomorphismus; nicht?
Aus der Definition wuerde also folgen, dass f Element von $ [mm] Diff^1(X,Y) [/mm] $ ist.
(falls nicht: wie waere das sonst zu zeigen?)
2.) Wie man "$ Y:= f(X) $ ist in $ [mm] R^m [/mm] $ offen" zeigt, bin ich momentan ganz ratlos - hier waere ich um jeden Tipp dankbar und froh!
3.) Wenn dann noch $ [mm] X=R^m [/mm] $ ist, muss Y ja ebenfalls = [mm] R^m [/mm] sein, das koennte man doch dann mit Hilfe des Punktes 2 zeigen, oder?
(da [mm] $X=R^m$ [/mm] und $ Y:= f(X) $ (also: $ Y:= [mm] f(R^m) [/mm] $ ), ist Y zwangsweise auch = [mm] R^m).
[/mm]
Ich wuerde mich ueber jede Hilfe sehr freuen und wuensche einen schoenen Tag!
Liebe Gruesse,
Remo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Fr 07.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> 1.) X wird ja als offen angenommen, und f ist stetig. Das
> ist doch genau die Definition eines Diffeomorphismus;
> nicht?
Unfug! Mach dich doch bitte vorher schlau - Google, Wikipedia, Bücher und Vorlesungsmitschrift erstmals befragen/lesen. Was habt ihr schon alles zur Verfügung? Auch den Umkehrsatz?
Wir sollten das erstmal klären, bevor wir weiter machen mit der eigtl. Aufgabe.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Fr 07.05.2010 | | Autor: | Remo6 |
Umkehrabbildungen haben wir gehabt und sind momentan bei Kurven und ihre Integrale (was aber wenig mit dem Thema hier zu tun hat).
Ein "Umkehrsatz" bezeichnet als solchen haben wir nicht gehabt - aber ich habe gegoogelt und gesehen, was er aussagt. Bei uns ist der Satz halt namenslos - aber gehabt und bewiesen haben wir ihn.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Fr 07.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Es seien X offen in [mm]R^m[/mm] und f aus [mm]C^1(X, IR^m)[/mm] (d.h.
> stetig).
> Ferner gebe es ein Alpha > 0 mit
> [mm]|f(x) - f(y)| >= \alpha |x-y|[/mm]
> (x, y aus X).
>
> Zu zeigen ist, dass Y:= f(X) in [mm]IR^m[/mm] offen ist und f
> Element von [mm]Diff^1(X,Y)[/mm] ist. Zudem ist zu zeigen, dass fuer
> [mm]X=IR^m[/mm] auch [mm]Y=IR^m[/mm] gilt.
Hier meine Lösungsansätze:
Y offen: Die Richtungsableitung in Richtung eines Einheitsvektors e ist nicht 0, da [m]\bruch{|f(x)-f(x+t*e)|}{|t*e|}\ge \alpha\mbox{ für alle }t[/m], damit ist die Jacobimatrix nicht singulär, damit wende den lokalen Umkehrsatz an, der sofort Offenheit impliziert (da die Umkehrung stetig ist und jede offene Menge Vereinigung von kleinerne offenen Mengen ist, die jeweils in den Def.bereich auf denen lokale Umkehrung und f definiert sind, passen).
Diffeo: f ist injektiv, daher setzt sich die lokale Fortsetzung zu einer globalen [m]f^{-1}[/m] fort. (Oder anders: es gibt diese Umkehrabbildung, die nach dme Umkehrsatz überall diff.bar ist - was eigentlich auch sofort Diffeo und damit die Offenheit zeigt)
Zum letzren Schritt: OBdA [m]x=f(x)=0[/m]. Nehme an, f ist nicht surjektiv. Dann betrachte den maximalen offenen Ball K mit Radius r der in [m]f(\IR^n)[/m] enthalten ist. Sei [m]x\in\delta K,x\notin f(\IR^n)[/m]. Dann gibt es eine Folge [m]y_n[/m] mit [m]K\ni y_n\to x[/m]. Seien [m]x_n[/m] durch [m]f(x_n)=y_n[/m] definiert. Nun ergibt sich aber [m]r>|y_n|=|f(x_n)|\ge \alpha |x_n|[/m], Das heisst die [m]x_n[/m] sind beschränkt, liegen in einem Kompaktum. Es konvergiert eine Teilfolge gegen ein [m]\tilde{x}[/m], aber nun impliziert (Folgen!)-Stetigkeit von f [m]f(\tilde{x})=x[/m] im Widerspruch zur Wahl von x. [Ich bin ein bisschen stolz, weil ich die Lösung hierfür irgendwie schön finde - bitte um Kritik bzw. auch andere alternative Ansätze.].
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:32 So 09.05.2010 | | Autor: | nooschi |
huhu,
ich habe jetzt nicht alles durchgelesen, weil ich es selber lösen will (ich habe dieselbe Aufgabe). Ich stecke bei dem Beweis, dass [mm] Df(x_0)\in Iso(R^n) [/mm] ist. das hast du ja auch ganz am Anfang "gezeigt" wobei ich deine Argumentation, dass die Richtungsableitungen nicht 0 sind und somit direkt folgt, dass [mm] Df(x_0) [/mm] nicht singulär ist, nicht verstehe. Die Richtungsableitungen könnten ja auch linear abhängig sein und dann hätte die Matrix nicht vollen Rang und wäre somit nicht invertierbar...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 So 09.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Die Richtungsableitungen könnten ja auch linear abhängig
> sein und dann hätte die Matrix nicht vollen Rang und wäre
> somit nicht invertierbar...
Aber jede ist nicht 0. Wäre diese Matrix singulär, gäbe es eine Richtung v, die im Kern der Matrix liegt. Die Richtungsableitung in diese Richtung muss dann 0 sein (Richtungsableitung in Richtung v ist ja Matrix*v), Widerspruch.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 So 09.05.2010 | | Autor: | nooschi |
asoo, klar, ich habe eben nur die Richtungsableitungen in Richtung der Einheitsvektoren betrachtet *blöd-bin*  danke!
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