Eigenschaften - Erwartungswert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo.
Ich habe keine direkte Aufgae, sondern nur eine Frage.
Es geht um die Eigenschaften des Erwartungswertes und um deren Beweis.
Eigenschaft:
[mm] $\mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]$
[/mm]
Beweis:
[mm] $\begin{aligned} \mathbb{E}[X+Y] &=\sum_{z \in(X+Y)(\Omega)} z \cdot \mathbb{P}(X+Y=z)=\sum_{z \in(X+Y)(\Omega)} z \sum_{x \in X(\Omega)} \mathbb{P}(X=x) \mathbb{P}(Y=z-x) \\ &=\sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{y \in Y(\Omega)}(x+y) \mathbb{P}(X=y)=\sum_{x \in X(\Omega)} x \mathbb{P}(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \mathbb{P}(Y=y) \\ &=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y] \end{aligned}$
[/mm]
Ich verstehe, was hier gemacht wird bis auf diese Zeile hier:
[mm] $\sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{y \in Y(\Omega)}(x+y) \mathbb{P}(X=x) \mathbb{P}(Y=y)=\sum_{x \in X(\Omega)} [/mm] x [mm] \mathbb{P}(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} [/mm] y [mm] \mathbb{P}(Y=y)$
[/mm]
Ich denke man weiß was ich meine:) Wie formen die $(x+y)$ bzw wie multiplizieren die es hier aus?
Macht für mich irgendwie keinen Sinn, wahrscheinlich wurden hier Umformungen überspringen.
Noch ein paar Tipps zum interpretieren, damit man hier nicht so viel nachdenken muss:
- nach dem ersten Gleichheitszeichen wurde die Faltungsformel genutzt
-nach dem zweiten Geichheitszeichen wurde z zu x+y umgeschrieben wie auch immer man darauf kommt so etwas zu tun, ich würde es im Leben nicht sehen:)
Gruß
Susanne
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ich verstehe, was hier gemacht wird bis auf diese Zeile
> hier:
> [mm]\sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{y \in Y(\Omega)}(x+y) \mathbb{P}(X=x) \mathbb{P}(Y=y)=\sum_{x \in X(\Omega)} x \mathbb{P}(X=x) \sum_{y \in Y(\Omega)} y \mathbb{P}(Y=y)[/mm]
[mm]\sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{y \in Y(\Omega)}(x+y) \mathbb{P}(X=x) \mathbb{P}(Y=y)[/mm] = [mm]\sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{y \in Y(\Omega)}x \mathbb{P}(X=x) \mathbb{P}(Y=y)+ y\mathbb{P}(X=x) \mathbb{P}(Y=y)=[/mm]
= [mm]\sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{y \in Y(\Omega)}x \mathbb{P}(X=x) \mathbb{P}(Y=y)+ \sum_{x \in X(\Omega)} \sum_{y \in Y(\Omega)}y\mathbb{P}(X=x) \mathbb{P}(Y=y)=[/mm]
= [mm]\sum_{x \in X(\Omega)} x \mathbb{P}(X=x)\sum_{y \in Y(\Omega)} \mathbb{P}(Y=y)+ \sum_{x \in X(\Omega)}\mathbb{P}(X=x)\sum_{y \in Y(\Omega)}y \mathbb{P}(Y=y)\[/mm]= (alles, was unabhängig von y ist, vor die y-Summe gezogen)
= [mm]\sum_{x \in X(\Omega)} x \mathbb{P}(X=x)*1+ \sum_{x \in X(\Omega)}\mathbb{P}(X=x) \mathbb{E}(Y)[/mm]=
= [mm]\sum_{x \in X(\Omega)} x \mathbb{P}(X=x)*1+ \mathbb{E}(Y) \sum_{x \in X(\Omega)}\mathbb{P}(X=x) [/mm]=
= [mm]\sum_{x \in X(\Omega)} x \mathbb{P}(X=x)+ \mathbb{E}(Y)*1 [/mm]=
= [mm]\mathbb{E}(X)+ \mathbb{E}(Y) [/mm]=
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Hiho,
> Ich habe keine direkte Aufgae, sondern nur eine Frage.
> Es geht um die Eigenschaften des Erwartungswertes und um
> deren Beweis.
Der Beweis ist übrigens nur für unabhängige X und Y gültig.
Entweder du hast diese Bedingung unterschlagen, oder der Beweis ist schlichtweg unvollständig / falsch.
> Beweis:
> [mm]\sum_{z \in(X+Y)(\Omega)} z \cdot \mathbb{P}(X+Y=z)=\sum_{z \in(X+Y)(\Omega)} z \sum_{x \in X(\Omega)} \mathbb{P}(X=x) \mathbb{P}(Y=z-x)[/mm]
Dieser Schritt funktioniert nur, wenn X und Y unabhängig sind.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Di 21.05.2019 | | Autor: | Susannchen |
Hi
Danke an euch beide für die Antwort ich konnte es nun nachvollziehen.
@Gono, Ja, da habe ich euch etwas verheimlicht:)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Di 21.05.2019 | | Autor: | Gonozal_IX |
HIho,
> @Gono, Ja, da habe ich euch etwas verheimlicht:)
dann ist der Beweis aber nicht sehr sinnvoll.
Die Linearität des Erwartungswerts ist eine fundamentale Eigenschaft und gilt für beliebige X,Y für die der Erwartungswert existiert.
Wenn man den Beweis jetzt nur für unabhängige X und Y führt, gewinnt man eigentlich nix.
Dann kann man es auch gleich sein lassen...
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Di 21.05.2019 | | Autor: | Susannchen |
Hey,
das mag sein, er steht halt so im Skript und ich bin gerade dabei das Thema Erwartungswert etc zu verstehen und dieser beweis war mir halt nicht schlüssig.
Gruß
Susanne
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