Eigenschaft vom Minimalpolynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Di 29.04.2008 | | Autor: | Alexis |
| Aufgabe | Sei [mm] A=J(\lambda,k) [/mm] ein Jordanblock der Grösse k zum Eigenwert [mm] \lambda\in [/mm] K.
Zeigen Sie: [mm] M_A(t)=(t-\lambda)^k [/mm] |
Hi. Ich habe ein Verständnisproblem mit dieser Aufgabe.
Ein Jordanblock ist meines Verständnisses nach die Matrix zu einem Eigenwert, welche auf der Diagonalen stehen und gegebenenfalls halt einsen auf der Nebendiagonalen, wenn es Jordankästchen>1 gibt.
Für mich bedeutet das [mm] M_A(t) [/mm] nun das Minimalpolynom mit Variable "t".
Das Charakteristische Polynom des Jordanblocks sähe meiner Meinung nach so aus, wie ich zeigen soll, dass das Minimalpolynom aussehen soll, da ja bei der Bestimmung einer Determinante alles wegfällt ausser der Diagonalen.
Aber mir ist absolut nicht ersichtlich, warum das Minimalpolynom nicht auch kleiner sein könnte als k.
Denn soweit ich weiss gilt doch eigentlich: Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts im Minimalpolynom gibt die Grösse des grössten Jordankästchens an, somit muss es doch nicht zwangsweise gleich dem Charakteristischen Polynom hierfür sein, oder nicht?
Somit denke ich halt, dass ich was völlig anderes zeigen soll, als ich vermute :(
Könnte mir da jemand auf die Sprünge helfen?
MfG
Alexis
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Hallo. Also ich hab die Aufgabe so verstanden, dass man für [mm] M_A(t) [/mm] einfach die Kriterien für das Minimalpolynom prüfen soll. Also:
(i) [mm] M_A(t) [/mm] ist nicht konstant
(ii) Hier steht in der VL: [mm] "\phi_f(q) [/mm] = 0, d.h. q(f) = 0 [mm] \in [/mm] End(V)", wobei q unser [mm] M_A(t) [/mm] sein soll und f unser A.
(iii) Grad von [mm] M_A(t) [/mm] ist minimal unter allen Polynomen, die (i) und (ii) erfüllen.
(iv) [mm] M_A(t) [/mm] ist normiert
Bisher hab ich was zu (i) und (iv):
Zu (i) Um konstant zu sein, müsste k=0 sein für [mm] (t-\lambda)^k. [/mm] Da [mm] A=J(\lambda, \IK) [/mm] allerdings einen Jordanblock der Länge k beschreibt, ist [mm] k\ge1
[/mm]
Zu (iv)
Unser [mm] (t-\lambda)^k [/mm] hat ja die Form [mm] 1*t^k+...+\lambda^k \Rightarrow M_A(t) [/mm] ist normiert.
So könnte es doch gehen oder?
Leider hab ich zu den anderen Kriterien keine Idee und hab leider vergessen, wie ein Kommilitone das gemacht hat.
Für Tipps bin ich dankbar!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 01.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Sei [mm]A=J(\lambda,k)[/mm] ein Jordanblock der Grösse k zum
> Eigenwert [mm]\lambda\in[/mm] K.
> Zeigen Sie: [mm]M_A(t)=(t-\lambda)^k[/mm]
Hallo,
nehmen wior doch mal so einen Jordanblock her, z.B.
[mm] A=J(7,4)=\pmat{ 7 & 1&0&0 \\ 0 & 7&1&0\\ 0 & 0&7&1\\0 & 0&0&7}.
[/mm]
Du sollst nun zeigen, daß [mm] (t-7)^4 [/mm] das Minimalpolynom ist,
daß also für k<4 [mm] (A-7E)^k [/mm] nicht das Nullpolynom ist, daß aber [mm] (A-7E)^4 [/mm] das Nullpolynom ist.
Hast Du Dir A-7E mal angeschaut? Das ist eine nilpotente Matrix, welche so aussieht: [mm] \pmat{ 0 & 1&0&0 \\ 0 & 0&1&0\\ 0 & 0&0&1\\0 & 0&0&0}.
[/mm]
Du mußt jetzt herausfinden, wie sich solche Matrizen beim Potenzieren benehmen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:19 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Alexis |
Hi. Also die Abgabefrist ist nun schon abgelaufen, aber die Aufgabe interessiert mich irgendwie noch immer.
Du hast für Den Jordanblock jetzt genau das Beispiel genommen wo es sich ohnehin mit der Aussage deckt, dass der Grad des Minimalpolynoms die Grösse des Größten Kästchens ist, da du einen Block mit nur einem Kästchen hast.
Was wäre denn wenn die Partitionen Deiner Matrix nicht (4), sonder (2,1,1) wäre? Dann müsste das Minimalpolynom doch nur hoch 2 sein, oder nicht?
Oder habe ich das ganze Problem missverstanden und es ist das gemeint, was ich gerade mit Kästchen bezeichnet habe?
MfG Alexis
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> Oder habe ich das ganze Problem missverstanden und es ist
> das gemeint, was ich gerade mit Kästchen bezeichnet habe?
Hallo,
ja, so habe ich die Aufgabe verstanden - sonst stimmt ja die Aussage nicht, wie Du selbst bemerkst.
Das, was ich und Du und andere als Kästchen bezeichen, sind andernorts die Blöcke.)
Gruß v. Angela
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