Eigenschaft einer Komposition < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Mi 02.05.2007 | | Autor: | peter_d |
| Aufgabe | [mm] $\rmfamily\text{Seien }X\text{ eine Menge und }(E,||\cdot||), (F,||\cdot||)\text{ Banachräume über }\matbb{K}.$
[/mm]
[mm] $\rmfamily\text{Sei }(f_n)\text{ eine gleichmäßig konvergente Folge von Funktionen }\f_n:X\to E\text{ und } g:E\to F\text{ gleichmäßig stetig.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily\text{Zeigen Sie, dass dann auch die Folge }(g\circ f_n) \text{ gleichmäßig konvergiert.}$ [/mm] |
Hallo. Dies ist eine der uns gestellten Aufgaben.
Nur leider wissen wir überhaupt nicht, wie wir diese bearbeiten sollen.
Wenn es heißt, dass [mm] $f_n$ [/mm] gleichmäßig konvergiert, bedeutet das ja [mm] $f_n \xrightarrow{\ glm\ } [/mm] f$
Wenn da nun steht, [mm] $g\circ [/mm] fn$ glm. konvergent, dann [mm] $(g\circ f_n) \xrightarrow{\ glm\ } [/mm] ???$
Hoffe, uns kann jemand weiterhelfen.
Danke und Gruß
Peter
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> [mm]\rmfamily\text{Seien }X\text{ eine Menge und }(E,||\cdot||), (F,||\cdot||)\text{ Banachräume über }\matbb{K}.[/mm]
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> [mm]\rmfamily\text{Sei }(f_n)\text{ eine gleichmäßig konvergente Folge von Funktionen }\f_n:X\to E\text{ und } g:E\to F\text{ gleichmäßig stetig.}[/mm]
>
> [mm]\rmfamily\text{Zeigen Sie, dass dann auch die Folge }(g\circ f_n) \text{ gleichmäßig konvergiert.}[/mm]
>
> Hallo. Dies ist eine der uns gestellten Aufgaben.
> Nur leider wissen wir überhaupt nicht, wie wir diese
> bearbeiten sollen.
> Wenn es heißt, dass [mm]f_n[/mm] gleichmäßig konvergiert, bedeutet
> das ja [mm]f_n \xrightarrow{\ glm\ } f[/mm]
> Wenn da nun steht,
> [mm]g\circ fn[/mm] glm. konvergent, dann [mm](g\circ f_n) \xrightarrow{\ glm\ } ???[/mm]
>
Hallo,
da [mm] f_n [/mm] glm gegen f konvergiert, liegt doch der Verdacht nahe, daß es sich um Konvergenz gegen [mm] g\circ [/mm] f handelt, und genau das würde ich untersuchen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Mi 02.05.2007 | | Autor: | peter_d |
gut, also:
es muss gelten:
[mm] $|g(x)\circ f_n(x)-g(x)\circ f(x)|<\varepsilon$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow |g(x)|\circ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$
[/mm]
Doch wie zeige ich das nun??? Es will mir nicht klar werden...
Danke und Gruß
Peter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Mi 02.05.2007 | | Autor: | piet.t |
> gut, also:
> es muss gelten:
> [mm]|g(x)\circ f_n(x)-g(x)\circ f(x)| < \epsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow |g(x)|\circ |f_n(x)-f(x)|
Hoppla, das ist aber mächtig danebengegangen! [mm] $\circ$ [/mm] ist doch die Verkettung von Funktionen und keine Multiplikation, d.h. Du kannst g nicht so einfach ausklammern oder aus dem Betrag ziehen.
>
> Doch wie zeige ich das nun??? Es will mir nicht klar
> werden...
Zu zeigen ist also, dass [mm]|(g\circ f_n)(x)-(g\circ f)(x)| < \epsilon[/mm] wenn n nur gross genug ist. Und wir wissen bereits, dass für hinreichend grosse n schon [mm]|f_n(x)-f(x)| < \epsilon'[/mm] gilt (mit irgend einem anderen beliebigen [mm] $\epsilon'$.
[/mm]
Schreiben wir die linke Seite der "Zielungleichung" mal noch etwas anders (vielleicht etwas weniger missverständlich) auf:
[mm] |(g\circ f_n)(x)-(g\circ f)(x)| = |g(f_n(x))- g(f(x))| = |g(u)-g(v)|[/mm]
wobei ich hier einfach [mm] u:=f_n(x) [/mm] und v:=f(x) gesetzt habe.
Was sagt denn nun die gleichmässige Stetigkeit von g (die wir bis jetzt ja noch nicht betrachtet haben) über solche Differenzen aus?
>
> Danke und Gruß
> Peter
Bitte und Gruß
auch Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Mi 02.05.2007 | | Autor: | peter_d |
hallo. erst mal danke, dass du dich meinem problem gewidmet hast :)
also, wie du sagst gilt: [mm] $|f_n(x)-f(x)|<\delta$
[/mm]
durch die Umformung bekommt man [mm] $|g(u)-g(v)|<\varepsilon$
[/mm]
g ist stetig.
Dann gibt es ja : [mm] $|x-x_o|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$
[/mm]
Wenn ich nun alles dementprechend einsetze, steht
[mm] $|u-v|=|f_n(x)-f(x)|<\delta\Rightarrow |g(u)-f(v)|<\varepsilon$
[/mm]
Dies wäre ja im Prinzip das, was ich zeigen will.
Mich stört aber, dass der "Pfeil" nur in eine Richtung geht, oder spielt das keine Rolle?
Oder ist hier wieder etwas verquer:)
> Bitte und Gruß
>
> auch Peter
:)
Danke und Gruß
Peter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Mi 02.05.2007 | | Autor: | piet.t |
Sicher geht der Pfiel nur in eine Richtung, aber das ist ja genau die, die wir wollen....
Das Verwirrende an diesen Stetigkeits- und Konvergenzgeschichten ist ja, dass immer die Existenz von irgendetwas gefordert wird. Genau genommen müssen wir ja zeigen, dass es ein [mm] n_0 [/mm] gibt, so dass für [mm] n>n_0 [/mm] immer [mm] |g(f_n(x))-g(f(x))|<\epsilon.
[/mm]
Wegen der Stetigkeit von g wissen wir also, dass es ein [mm] \delta [/mm] gibt mit
[mm] |f_n(x)-f(x)|<\delta\Rightarrow |g(f_n(x))-g(f(x))|<\epsilon.
[/mm]
Und wegen der Konvergenz von f finden wir dann ein [mm] n_0, [/mm] so dass [mm] |f_n(x)-f(x)|<\delta [/mm] für [mm] n>n_0.
[/mm]
Damit haben wir also
[mm] n>n_0 \Rightarrow |f_n(x)-f(x)|<\delta\Rightarrow |g(f_n(x))-g(f(x))|<\epsilon
[/mm]
w.z.b.w.
P.S.: und dann an geeigneter Stelle jeweils "gleichmäßig" und "für alle x [mm] \in [/mm] X" einfügen 
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