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Eigenraum berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:10 Do 08.04.2010
Autor: ATDT

Aufgabe
Entscheiden Sie, ob die reellen Matrizen A und B diagonalisierbar sind.

A= [mm] \pmat{ 1 & 16 & -8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & 3 }, [/mm]
B= [mm] \pmat{ 1 & 16 & -8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 3 } [/mm]

Ist A diagonalisierbar?

Ist B diagonalisierbar?

Hallo liebe Mathe-Freunde,

ich habe Probleme bei der Bestimmung der Eigenräume.
Die Eigenwerte sind durch Lösen des char. Polynoms kein Problem.

Für A sind die Eigenwerte: 1 und 3

Eine Musterlösung habe ich hier vor mir liegen jedoch kann ich sie nicht nachvollziehen.
Nach was wird aufgelöst ? x, y, z? also für das Ergebnis des Eigenraums.

Hier ein Ausschnitt aus der Musterlösung:

v = [mm] (x,y,z)^t [/mm] liegt im Eigenraum zum Eigenwert 1 [mm] \gdw [/mm] Av=v

x + 16y -8z = x
y =  y
-4y + 3z = z

[mm] \gdw [/mm]

16y = 8z
y = y
y = 1/2z

[mm] \gdw [/mm]

z = 2y [mm] \gdw [/mm] v = [mm] (x,y,2y)^t [/mm]

Der Eigenraum zum Eigenwert 1 ist also [mm] span((0,1,2)^t, (1,0,0)^t) [/mm]


Nach was geht man da vor bei der Bestimmung des Eigenraumes?

Danke im Voraus
und LG ATDT

        
Bezug
Eigenraum berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:24 Do 08.04.2010
Autor: Fawkes

Hi,
fangen wir am besten mal langsam an.
Was muss denn gelten, damit eine Matrix diag'bar ist?
Bestimmen wir dann mal die Eigenwerte:
Hierfür gilt:
P(x)=0
P(x) ist das char. Polynom der Matrix und lässt sich wie folgt bestimmen:
P(x)=det(A-xId) für Id (Identität) kann man auch E für Einheitsmatrix schreiben, das ist dem Autor oder der Autorin frei überlassen.
Nehmen wir also mal die Matrix A, dann folgt:
[mm] P(x)=det(\pmat{ 1 & 16 & -8 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & 3 }-xId)=det\pmat{ 1-x & 16 & -8 \\ 0 & 1-x & 0 \\ 0 & -4 & 3-x }=... [/mm]
Hier muss jetzt also die Determinante berechnet werden. Da es nur eine 3x3 Matrix ist, ist dies relativ simple und bleibt dir überlassen.
Dein Ergebnis musst du dann gleich 0 setzen, also die Nullstellen des char. Polynoms bestimmen. Wenn du das dann gemacht hast, gucken wir uns die Eigenräume an ok?
Gruß Fawkes

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