Eigenraum Diagnolisierbarkeit < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Mi 21.07.2010 | | Autor: | Fidddi |
| Aufgabe | Ich habe eine Matrix mit 5 -6 -6
-1 4 2
3 -6 -4
mit dem charakt. [mm] Polynom:(1-Lambda)*(2-lambda)^2
[/mm]
also die Eigenwerte 1 mit algebraischer Vielfachheit 1 und Eigenwert 2 mit algebraischer Vielfachheit 2.
Und bei der Matrix zu zeigen, ob sie diagonalisierbar ist, muss man ja zeigen, ob die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten übereinstimmen oder nicht.
Die algebraischen Vielfachheiten hab ich ja bereits ausgerechnet und für die geometrischen muss die die zugehörigen Eigenräume bestimmen, also kern(A-lambda*Einheitsmatrix) und bringe diese Matrix dann auf Zeilenstufenform und erhalte für Lambda = 1
dies: -1 3 2 = 0
0 3 1 = 0
0 0 0 = 0
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Der Eigenraum soll (Alpha * (-3 1 [mm] -3)^T) [/mm] sein. Nur ich verstehe den Schritt zwischen der endgültigen Zeilenstufenform und dem Ergebnis nicht, kann mir das jemand erklären?
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Fidddi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe eine Matrix mit 5 -6 -6
> -1 4 2
> 3 -6 -4
> mit dem charakt. [mm]Polynom:(1-Lambda)*(2-lambda)^2[/mm]
>
> also die Eigenwerte 1 mit algebraischer Vielfachheit 1 und
> Eigenwert 2 mit algebraischer Vielfachheit 2.
>
> Und bei der Matrix zu zeigen, ob sie diagonalisierbar ist,
> muss man ja zeigen, ob die algebraischen und geometrischen
> Vielfachheiten übereinstimmen oder nicht.
> Die algebraischen Vielfachheiten hab ich ja bereits
> ausgerechnet und für die geometrischen muss die die
> zugehörigen Eigenräume bestimmen, also
> kern(A-lambda*Einheitsmatrix) und bringe diese Matrix dann
> auf Zeilenstufenform und erhalte für Lambda = 1
> dies: -1 3 2 = 0
> 0 3 1 = 0
> 0 0 0 = 0
>
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>
> Der Eigenraum soll (Alpha * (-3 1 [mm]-3)^T)[/mm] sein. Nur ich
> verstehe den Schritt zwischen der endgültigen
> Zeilenstufenform und dem Ergebnis nicht, kann mir das
> jemand erklären?
>
Das ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems
[mm]\left(-1\right)*x_{1}+3*x_{2}+2*x_{3}=0[/mm]
[mm]0*x_{1}+3*x_{2}+1*x_{3}=0[/mm]
Aus der letzten Gleichung folgt: [mm]x_{3}=-3*x_{2}[/mm]
Eingesetzt in erstere Gleichung liefert [mm]x_{1}=3*x_{2}+2*x_{3}=\left(-3\right)*x_{2}[/mm]
Die Lösungsmenge ergibt sich somit zu
[mm]x_{1}=\left(-3\right)*x_{2}[/mm]
[mm]x_{3}=\left(-3\right)*x_{2}[/mm]
wobei [mm]x_{2}[/mm] frei wählbar ist.
Wählt man für [mm]x_{2}=\alpha[/mm], so schreibt sich die Lösungsmenge
[mm]x_{1}=\left(-3\right)*\alpha[/mm]
[mm]x_{2}=\alpha[/mm]
[mm]x_{3}=\left(-3\right)* \alpha[/mm]
bzw.
[mm]\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}=\pmat{\left(-3\right)*\alpha \\ \alpha \\ \left(-3\right)*\alpha}=\alpha*\pmat{-3 \\ 1 \\ -3}[/mm]
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> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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