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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Eigenraum
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Eigenraum: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:21 Mo 27.09.2004
Autor: metropolitan

Hallo ihr lieben,

habe eine Frage: Wie bestimmt man den Eigenraum von
[mm] \phi (A)=A^T+3A [/mm] ?
Ich habe bereits das Minimalpolynom bestimmt, und zwar
[mm] \mu_A =x^2-6x+8 [/mm]
Damit lauten die Eigenwerte 2 und 4.
Aber wie bestimmt man nun den Eigenraum zu den entsprechenden Eigenwerten?

lieber Gruß
metropolitan



Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
        
Bezug
Eigenraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:51 Mo 27.09.2004
Autor: Julius

Liebe metro!

> habe eine Frage: Wie bestimmt man den Eigenraum von
> [mm]\phi (A)=A^T+3A[/mm] ?
>  Ich habe bereits das Minimalpolynom bestimmt, und zwar
>  [mm]\mu_A =x^2-6x+8 [/mm]

[ok]

>  Damit lauten die Eigenwerte 2 und 4.

[ok]

>  Aber wie bestimmt man nun den Eigenraum zu den
> entsprechenden Eigenwerten?

Du musst getrennt voneinander die beiden Gleichungen

[mm] $\Phi(A) [/mm] = [mm] A^T [/mm] + 3A [mm] \stackrel{(!)}{=} [/mm] 2A$

und

[mm] $\Phi(A) [/mm] = [mm] A^T [/mm] + 3A [mm] \stackrel{(!)}{=} [/mm] 4A$

lösen. (Löse beide Gleichungen also nach $A$ auf. Welche Bedingungen sind also für die Matrizen notwendig (und hinreichend!), um im jeweiligen Eigenraum zu liegen?)

Es gilt also:

[mm] $Eig_2(\Phi)=\{A \in Mat_{n,n}(\IR)\, : \, A^T = \ldots\}$ [/mm]

und

[mm] $Eig_4(\Phi)=\{A \in Mat_{n,n}(\IR)\, : \, A^T = \ldots\}$ [/mm]

Versuche es mal. Wir helfen dir, wenn du nicht zurecht kommst. :-)

Liebe Grüße
Julius

Bezug
                
Bezug
Eigenraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:28 Mo 27.09.2004
Autor: metropolitan

Hallo Julius,

vielen Dank für deine Hilfe!
Für den Eigenwert 2 müsste gelten: [mm] A^T=-A [/mm]
und für den Eigenwert 4: [mm] A^T=A [/mm]

aber ich habe irgendwie den Faden noch nicht gefunden.

metro
Bezug
                        
Bezug
Eigenraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 Mo 27.09.2004
Autor: Julius

Liebe metro!

Stimmt! [daumenhoch]

Der Eigenraum zum Eigenwert $2$ ist also der Vektorraum der schiefsymmetrischen, der Eigenraum zum Eigenwert $4$ der der symmetrischen Matrizen.

> aber ich habe irgendwie den Faden noch nicht gefunden.

Kommt schon noch... ;-)

Liebe Grüße
Julius  

Bezug
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