Eigenräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:39 Fr 06.02.2004 | | Autor: | Alexis |
Hi an alle.
Bin gerade am lernen für die Klausur und hab jetzt eine Frage.
> Hallo nils,> Hallo marc,
> Ups, mein ist natürlich nicht das Char Pol. Ich
> meinte natrülich damit die Abb. . Die haben wir einfach
> immer weiter in sich selbst eingesetzt bis man wieder etwas
> ähnliches hatte (also erst und dann wie
> gesagt , wodruch wir dann auf das
> Minimalpol. kamen).
> Aha, jetzt verstehe ich. Ist gar nicht mal so unclever, so vorzugehen,
> obwohl man so wahrscheinlich nicht immer das Minimalpolynom finden
> wird.
> Habt Ihr denn schon das Minimalpolynom von Abbildunsmatrizen
> berechnet? Falls ja, dann müßtet Ihr ja (jetzt) was mit meiner Lösung
> anfangen können.
> Alles Gute,
> Marc.
Diesen Weg das Minimalpolynom zu finden, bin ich auch bei folgender Aufgabe gegangen:
Es sei [mm]V=\IR^{n\times n}[/mm] und [mm]\varphi \in End V[/mm] gegeben durch [mm]\varphi (A)=A^T+3A[/mm] für [mm]A\in V[/mm].
Nur ist in dieser Aufgabe jetzt noch nach den Eigenräumen gefragt, Wortwörtlich: Bestimmen sie zu jedem Eigenraum eine Basis.
Kann man sich bei dieser Aufgabe auch eine Darstellungsmatrix basteln, oder kann man die Eigenräume auch ohne Matrizen bestimmen?
Wäre echt nett, wenn mir das einer erklären könnte.
Bis denne,
Alexis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:41 Sa 07.02.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Alexis,
> Diesen Weg das Minimalpolynom zu finden, bin ich auch bei
> folgender Aufgabe gegangen:
Und, wie lautet dein Minimalpolynom? Ich habe jetzt gerade nicht die Muße, das selbst auszurechnen. Von ihm bzw. dessen Eigenwerten hängt ja dann die Beantwortung der eigentlichen Frage ab (wenn die Antwort nicht zu allgemein ausfallen soll).
Bis später,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:30 Sa 07.02.2004 | | Autor: | Alexis |
Hi Marc.
Mein Minimalpolynom ist [mm]x^2-6x+8[/mm], was ich halt durch die Formel
[mm]\mu_\varphi= \varphi^n+a_{n-1}\varphi^{n-1}+\dots+a_0\varphi^0=0[/mm]
und viel ausprobieren gefunden habe.
Aber nur mit dem Minimalpolynom kann ich mit meinen Mitteln keine Eigenvektoren, geschweige denn Eigenräume ermitteln.
Ein anderer Ansatz für die Eigenwerte war noch auch folgender:
Es gilt ja: [mm]\varphi (A)= tA[/mm], wobei t ein Eigenwert von A ist.
Also: [mm]tA=A^T+3A \Rightarrow A^T=(t-3)A \Rightarrow (transponieren\ und\ A^T einsetzen) A=(t-3)^2A \Rightarrow 1=(t-3)^2 \Rightarrow[/mm] t=2 und t=4.
Gruss,
Alexis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:54 Sa 07.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Alexis,
auch eine schöne Herleitung, muss ich sagen. Respekt!
So kommt man auch auf das Endergebnis.
Man sieht dann ganz leicht, dass zu [mm]t=4[/mm] die symmetrischen und zu [mm]t=2[/mm] die schiefsymmetrischen Matrizen gehören.
Der Rest geht wie bei meiner Lösung...
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:59 Sa 07.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Alexis,
du brauchst gar kein charakteristisches Polynom, es handelt sich um einen Einzeiler.
Tipp: Jede Matrix lässt sich eindeutig als Summe einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Matrix darstellen. (Warum?)
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Sa 07.02.2004 | | Autor: | Alexis |
Hi Stefan.
> Hallo Alexis,
>
> du brauchst gar kein charakteristisches Polynom, es handelt
> sich um einen Einzeiler.
Die Matrix wollte ich ja auch nicht haben, weil ich das charakteristische Polynom wollte, sondern weil ich Basen zu den Eigenräumen angeben soll, und ich nur den Weg über das Einsetzen der Eigenwerte in die Matrix kenne.
>
> Tipp: Jede Matrix lässt sich eindeutig als Summe einer
> symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Matrix
> darstellen. (Warum?)
Das verstehe ich nicht ganz. Ich meine, ich könnte mir vorstellen, warum mir symmetrische Matrizen hierbei helfen könnten, die würden dann ja immer auf 4A abgebildet werden (hoffe du verstehst, was ich gerade meine:))
Dazu hab ich dann auch gleich eine Frage. Wenn du eine Abbildungs-Vorschrift [mm]\varphi (A)[/mm]=4A hättest, wäre dann 4 automatisch ein Eigenwert? Wenn ja, warum?
Aber ich weiss zu meiner schande nicht mal wirklich, was eine schiefsymmetrische Matrix ist.
Ist das einfach eine "nicht-symmetrische", oder ist das noch etwas spezielles.
>
> Liebe Grüße
> Stefan
>
Danke schon mal,
Alexis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Sa 07.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Alexis,
> > du brauchst gar kein charakteristisches Polynom, es
> handelt
> > sich um einen Einzeiler.
> Die Matrix wollte ich ja auch nicht haben, weil ich das
> charakteristische Polynom wollte, sondern weil ich Basen zu
> den Eigenräumen angeben soll, und ich nur den Weg über das
> Einsetzen der Eigenwerte in die Matrix kenne.
Auch das geht mit meinem Weg einfacher.
> > Tipp: Jede Matrix lässt sich eindeutig als Summe einer
>
> > symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Matrix
> > darstellen. (Warum?)
>
> Das verstehe ich nicht ganz. Ich meine, ich könnte mir
> vorstellen, warum mir symmetrische Matrizen hierbei helfen
> könnten, die würden dann ja immer auf 4A abgebildet werden
> (hoffe du verstehst, was ich gerade meine:))
Natürlich, genau das ist die (eine Hälfte der) Lösung.
> Dazu hab ich dann auch gleich eine Frage. Wenn du eine
> Abbildungs-Vorschrift [mm]\varphi (A)[/mm]=4A hättest, wäre dann 4
> automatisch ein Eigenwert? Wenn ja, warum?
Vielleicht nach Definition eines Eigenwertes? 
> Aber ich weiss zu meiner schande nicht mal wirklich, was
> eine schiefsymmetrische Matrix ist.
Eine Matrix [mm]A \in Mat(n,n,\IR)[/mm] heißt schiefsymmetrisch,
wenn
[mm]A^T = -A[/mm]
gilt.
Hast du eine Idee, wie es jetzt weitergehen könnte? Es sind jetzt nur noch ganz wenige Schritte bis zur Lösung.
Das Hauptargument mache ich dir mal vor:
Wegen
[mm]A = \frac{1}{2}(A+A^T) + \frac{1}{2}(A-A^T)[/mm]
ist jedes [mm]A[/mm] die Summe einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Matrix. Es sei
[mm]U = \{A \in Mat(n,n,\IR)\, : A^T = A\}[/mm]
und
[mm]V = \{A \in Mat(n,n,\IR)\, : A^T = -A\}[/mm]
Offenbar sind [mm]U[/mm] und [mm]V[/mm] Unterräume von [mm]Mat(n,n,\IR)[/mm].
Wir haben gerade gezeigt, dass
[mm]Mat(n,n,\IR) = U + V[/mm]
gilt, offenbar gilt aber sogar:
[mm]Mat(n,n,\IR) = U \oplus V[/mm]
[mm]U[/mm] und [mm]V[/mm] sind die gesuchten Eigenräume.
Jetzt musst du nur noch geeignete Basen von [mm]U[/mm] und [mm]V[/mm] angeben, das ist aber denkbar einfach.
Tipp: Es gilt:
[mm]dim(U) = \frac{n^2+n}{2}[/mm]
und
[mm]dim(V) = \frac{n^2-n}{2}[/mm].
Na, denn mal los. Jetzt ist es doch nicht mehr schwierig, oder?
1. Schritt: Zu welchem Eigenwert ist [mm]V[/mm] Eigenraum?
2. Schritt: Gib Basen von [mm]U[/mm] und [mm]V[/mm] an.
Melde dich bitte mit den Ergebnissen (oder Fragen).
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 Sa 07.02.2004 | | Autor: | Alexis |
Hi Stefan.
>
> > Dazu hab ich dann auch gleich eine Frage. Wenn du eine
>
> > Abbildungs-Vorschrift [mm]\varphi (A)[/mm]=4A hättest, wäre dann 4
>
> > automatisch ein Eigenwert? Wenn ja, warum?
>
> Vielleicht nach Definition eines Eigenwertes?
>
Ich bin auch ein Honk.
Genau die Definition hab ich ja bei dem alternativen Weg angewandt.
Da merk ich doch gleich wieder, dass ich einfach nur stundenlang davor sitze und mit den Definitionen rumhantiere, das Thema aber noch garnicht verstanden habe:(
So, werde mir jetzt mal über deinen Vorschlag gedanken machen und mich dann melden, wenn ich es verstanden und (hoffentlich) zu ende gebracht habe.
Danke schon mal,
Alexis.
P.S: Weiss nicht, ob ich es heute noch schaffe, muss heute abend noch ein wenig meiner Studiumsfinanzierung nachgehen. Melde mich spätestens morgen. Besten Dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Sa 07.02.2004 | | Autor: | Alexis |
Ok, ich hab jetzt schon eine Frage.
Das mit den symmetrischen Matrizen war mir ja eben schon klar.
Mit den schiefsymmetrischen Matrizen kann ich auch nachvollziehen.
Die Gleichung [mm] A = \frac{1}{2}(A+A^T) + \frac{1}{2}(A-A^T) [/mm] ist klar, wenn man die rechte Seite ausmultipliziert, kommt dort halt auch A raus.
Aber ich kann mir so schlecht vorstellen, dass man jede beliebige Matrix durch die Summe einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Matrix darstellen kann.
Die Formel ist doch allgemein gültig, und diese Abbildung ist jetzt noch ein Spezialfall, da [mm] Mat(n,n,\IR) = U + V [/mm] nicht nur gilt, sondern sogar [mm] Mat(n,n,\IR) = U \oplus V [/mm].
Hab ich das richtig verstanden?
Tja, ist irgendwie ganz schön knifflig.
Ich muss jetzt weg und werde dir morgen sagen, wie weit ich mit der Sache gekommen bin. Wäre nett, wenn du mir diese Frage noch kurz beantworten könntest, damit ich den Hintergrund wenigstens verstehe, sonst wird das Lösen der Aufgabe schwer.
Danke und bis morgen,
Alexis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:59 So 08.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Alexis,
> Ok, ich hab jetzt schon eine Frage.
>
> Das mit den symmetrischen Matrizen war mir ja eben schon
> klar.
Klar, ich weiß.
> Mit den schiefsymmetrischen Matrizen kann ich auch
> nachvollziehen.
Gut, dann ist die Aufgabe gelöst.
> Die Gleichung [mm]A = \frac{1}{2}(A+A^T) + \frac{1}{2}(A-A^T)[/mm]
> ist klar, wenn man die rechte Seite ausmultipliziert, kommt
> dort halt auch A raus.
Okay. Und es folgt die Behauptung, da
[mm]\left(\frac{1}{2}(A+A^T) \right)^T = \frac{1}{2}(A^T+A) = \frac{1}{2}(A+A^T)[/mm]
(d.h. [mm]\frac{1}{2}(A+A^T)[/mm] ist symmetrisch)
und
[mm]\left(\frac{1}{2}(A-A^T) \right)^T = \frac{1}{2}(A^T-A) = -\frac{1}{2}(A-A^T)[/mm]
(d.h. [mm]\frac{1}{2}(A-A^T)[/mm] ist schiefsymmetrisch).
> Aber ich kann mir so schlecht vorstellen, dass man jede
> beliebige Matrix durch die Summe einer symmetrischen und
> einer schiefsymmetrischen Matrix darstellen kann.
Wenn du es dir nicht vorstellen kannst, dann hilft nur eines: Ausprobieren. Nimm dir einfach mal ein paar explizite Matrizen [mm]A[/mm] und bilde [mm]\frac{1}{2}(A+A^T)[/mm] sowie [mm]\frac{1}{2}(A-A^T)[/mm]. Dann siehst du, dass ersteres symmetrisch und zweiteres schiefsymmetrisch ist und dass die Summe gerade [mm]A[/mm] ergibt.
> Die Formel ist doch allgemein gültig,
Richtig!
> und diese Abbildung
> ist jetzt noch ein Spezialfall, da [mm]Mat(n,n,\IR) = U + V[/mm]
> nicht nur gilt, sondern sogar [mm]Mat(n,n,\IR) = U \oplus V [/mm].
Nein, das gilt auch immer. Bzw. ich verstehe nicht, was du damit meinst. Warum habe ich die Beziehung
[mm]Mat(n,n,\IR) = U \oplus V [/mm]
gezeigt? Eigentlich hat das ja mit der Aufgabe gar nichts zu tun. Nun ja: Unmittelbar klar ist, dass für eine symmetrische Matrix [mm]A[/mm] gilt:
[mm]\varphi(A) = A^T + 3A = A + 3A = 4A[/mm]
und für eine schiefsymmetrische Matrix [mm]A[/mm]:
[mm]\varphi(A) = A^T + 3A = - A + 3A = 2A[/mm].
Daher gilt:
[mm]E_4(\varphi) = \{A \in Mat(n,n,\IR)\, : \, A^T = A\} = U[/mm]
und
[mm]E_2(\varphi) = \{A \in Mat(n,n,\IR)\, : \, A^T = -A\}= V[/mm].
Nun könnte es aber ja (nach meinem Beweis) sein, dass es noch mehr Eigenwerte und daher auch noch mehr Eigenräume gibt. (Nach deiner Herleitung ist es sofort klar, dass es keine weiteren geben kann. Dafür musst du an anderer Stelle mehr leisten, denn du müsstest ja erst einmal zeigen, dass die Bedingungen (Symmetrie und Schiefsymmetrie) nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend sind. Insofern sind die beiden Ansätze ungefähr "gleich gut", wenn man das so sagen kann.)
Zurück zu meinem Beweis: Da wir aber nach der obigen Argumentation wissen, dass
[mm]Mat(n,n,\IR) = U \oplus V[/mm],
also:
[mm]Mat(n,n,\IR) = E_4(\varphi) \oplus E_2(\varphi)[/mm],
gilt, kann es keine weiteren Eigenwerte geben. (Die beiden Eigenräume spannen bereits den kompletten Matrizenraum auf, eben weil sich jede Matrix als (eindeutige) Linearkombination einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Matrix schreiben lässt.)
Das einzige, was jetzt noch bleibt, ist eine Basis von [mm]E_4(\varphi)[/mm] (der Länge [mm]\frac{n^2 + n}{2}[/mm]) und von [mm]E_2(\varphi)[/mm] (der Länge [mm]\frac{n^2 - n}{2}[/mm]) anzugeben.
Aber das ist einfach und diesen letzten Schritt überlasse ich dir zur Übung.
Tipp: Wie sehe die einfachsten symmetrischen und schiefsymmetrischen Matrizen aus? Wenige 1en und ganz viele 0en...
Melde dich bitte mit einem Vorschlag.
Und: Schreibe jetzt bitte den gesamten Beweis noch einmal auf und poste ihn in das Forum, mit allen Einzelheiten. Bitte alles strukturiert, sehr ausführlich und nachvollziehbar aufschreiben. Erst wenn dir das gelingt, hast du die Aufgabe wirklich verstanden. Sonst bleibt es intuitives Halbwissen.
> Hab ich das richtig verstanden?
Nein, nicht so ganz. Ich hoffe aber jetzt. Das werden wir sehen, sobald du den kompletten Beweis hier noch einmal aufgeschrieben hast.
> Tja, ist irgendwie ganz schön knifflig.
Alles Routine. Ich hätte es aber im 1./2. Semester (oder in welchem du auch immer bist) auch schwierig gefunden. Mittlerweile kommt mir die Lineare Algebra extrem einfach vor, das sollte dir Mut machen.
Jedenfalls entwickelt man bei der Linearen Algebra schnell Routine, weil alles nach "Schema F" läuft. In der Analysis muss man viel kreativer sein, daher braucht man dort länger um halbwegs souverän zu sein.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:19 Mo 09.02.2004 | | Autor: | Alexis |
Hi.
Ich habs gestern nicht mehr geschafft die Lösung zu posten. Werde es heute abend machen.
Nur soviel bis jetzt:
Die Basis von [mm] E_4(\varphi)[/mm] Sind erstmal n Matrizen, die eine 1 auf der Diagonalen haben und sonst nur Nullen (Es gibt ja n Plätze auf der Diagonalen) und es sind die Matrizen die immer 2 Einsen haben und zwar z.b an Platz [mm]a_{12}\ und\ \ a_{21}[/mm] haben.
Das sind dann insgesamt [mm]\frac{n^2+n}{2}[/mm] verschiedene Matrizen.
Die Basis von [mm]E_2(\varphi)[/mm] hat nur [mm]\frac{n^2-n}{2}[/mm] Matrizen, da sie auf der Diagonalen nur Nullen haben darf und dann immer nach dem gleichen Schema wie oben immer eine 1 und eine -1 hat.
Werde heute abend versuchen die komplette Löung zu posten und danke dir schon mal vielmals Stefan, jetzt hab ich es glaub ich verstanden:)
Bis denne,
Alexis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:22 So 08.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Matheraum-Mitglieder,
da ich morgen mehr oder weniger den ganzen Tag nicht da bin, wäre es nett, wenn morgen jemand anderes Alexis weiterhelfen (und seinen Beweis kontrollieren) könnte.
Ich habe mich extra bemüht, meine Argumentation sehr ausführlich darzustellen, damit sie jedes Mitglied ab dem 1. Semester nachvollziehen und daher gegebenenfalls auch helfen kann.
Liebe Grüße
Stefan
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