Eckpunkte eines Vielecks < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 So 12.06.2011 | | Autor: | kagu |
| Aufgabe | Man beweise, dass für jede natürliche Zahl n die folgende Aussage gilt:
Wenn die Anzahl der Ecken eines regelmäßigen Vielecks gleich 3n ist, dann gibt es kein rechtwinkliges Koordinatensystem, in dem beide Koordinaten jedes Eckpunktes dieses Vielecks rationale Zahlen sind. |
Hallo,
ich habe leider überhaupt keine Idee, wie ich obige Aufgabe lösen könnte. Kann mir jemand weiterhelfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 So 12.06.2011 | | Autor: | abakus |
> Man beweise, dass für jede natürliche Zahl n die folgende
> Aussage gilt:
> Wenn die Anzahl der Ecken eines regelmäßigen Vielecks
> gleich 3n ist, dann gibt es kein rechtwinkliges
> Koordinatensystem, in dem beide Koordinaten jedes
> Eckpunktes dieses Vielecks rationale Zahlen sind.
> Hallo,
>
> ich habe leider überhaupt keine Idee, wie ich obige
> Aufgabe lösen könnte. Kann mir jemand weiterhelfen?
Hallo,
angenommen, es gibt ein solches (3n)-Eck, in dem alle Eckpunkte rationale Koordinaten haben. Dann wählen wir uns den Eckpunkt mit der Nummer n aus; seine Koordinaten seien (p;q).
Wir führen die Verschiebung (-p;-q) mit diesem Vieleck aus. Alle Punktkoordinaten, die bisher rational waren, sind nach der Subtraktion von den rationalen Zahlen p und q selbstverständlich immer noch rational.
Der Punkt mit der Nummer n hat nun die Koordinaten (0;0).
Der Punkt mit der Nummer 2n hat irgendwelche rationalen Koordinaten (a;b). Wenn wir ein regelmäßiges (3n)-Eck, haben, dann bilden die Punkte [mm] P_n, P_{2n} [/mm] und [mm] P_{3n} [/mm] ein gleichseitiges Dreieck.
Wie lauten dann die Koordinaten von [mm] P_{3n}? [/mm] (Können die auch rational sein?)
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Di 14.06.2011 | | Autor: | kagu |
Hallo, wenn Pn und P2n auf der x-Achse liegen, sind die Koordinaten von P3n klar.
Ich habe allerdings noch nicht verstanden, wie ich die Koordinaten von P3n beschreiben soll wenn dies nicht der Fall ist.
Geht das über eine Drehung des Ko-Systems?
|
|
|
| |
|
Moin kagu,
> Hallo, wenn Pn und P2n auf der x-Achse liegen, sind die
> Koordinaten von P3n klar.
>
> Ich habe allerdings noch nicht verstanden, wie ich die
> Koordinaten von P3n beschreiben soll wenn dies nicht der
> Fall ist.
>
> Geht das über eine Drehung des Ko-Systems?
Bei einer Drehung des Koordinatensystems bleiben im Gegensatz zur Verschiebung rationale Koordinaten nicht unbedingt erhalten.
Besser du nimmst o. E. an, dass [mm] P_{2n}=(a,b) [/mm] mit a, b rational. Dann kannst du die Koordinaten von [mm] P_{3n} [/mm] bis auf Spiegelung an der Geraden durch [mm] P_{n} [/mm] und [mm] P_{2n} [/mm] eindeutig berechnen.
Die Seitenlänge des gleichmäßigen Dreiecks ist [mm] s=\sqrt{a^2+b^2}. [/mm] Gesucht ist nun ein Punkt (c, d) mit [mm] \sqrt{c^2+d^2}=s=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}.
[/mm]
Das ist zwar ein bisschen Rechenarbeit, sollte aber machbar sein.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Di 14.06.2011 | | Autor: | kagu |
hallo,
ich steh grad auf der Leitung. Muss ich aus diesen 3 Gleichungen c und d freistellen?
|
|
|
| |
|
> hallo,
>
> ich steh grad auf der Leitung. Muss ich aus diesen 3
> Gleichungen c und d freistellen?
Es reicht auch, wenn du zeigen kannst, dass entweder c oder d irrational sind (falls das Umstellen zu schwierig ist).
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Di 14.06.2011 | | Autor: | kagu |
Ich krieg's nicht hin hier irgendeine passable Aussage herzuleiten.
Darf ich dich um eine weitere Hilfe bitten?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Di 14.06.2011 | | Autor: | abakus |
> Ich krieg's nicht hin hier irgendeine passable Aussage
> herzuleiten.
>
> Darf ich dich um eine weitere Hilfe bitten?
Bei einem gleichseitigen Dreieck, von dem schon zwei Punkte gegeben sind, liegt der dritte Punkt
- erstens auf der Mittelsenkrechte der gegebenen Strecke (eine Gleichung dafür solltest du hinbekommen)
- zweitens auf einem Kreis um einen der beiden bekannten Punkte mit Radius= Länge der bekannten Strecke (solltest du auch hinbekommen).
Das sind zwei geometrische Orte, die sich schneiden.
Bei der Schnittpunktberechnung sollten Koordinaten entstehen, die nachweislich nicht rational sind.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Di 14.06.2011 | | Autor: | kagu |
Ich habe jetzt versucht, die zwei Gleichungen herzuleiten. Bin mir aber nicht sicher, ob sie stimmen, da ich beim Gleichsetzen auf kein Ergebnis komme.
Gleichung der Mittelsenkrechte: y=(-a/b)x+(a²+b²)/(2b)
Kreisgleichung: x²+y²=s² also x²+y²=a²+b²
Bin ich auf dem richtigen Weg?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 Di 14.06.2011 | | Autor: | kagu |
Kann mir wirklich niemand weiterhelfen? Ich bräuchte die Aufgabe bis morgen und beginne so langsam zu verzweifeln.
|
|
|
| |
|
Hallo kagu,
ich weiß nicht, ob Du noch wach bist, aber ich schreib gleich noch mal einen geringfügig anderen Weg auf, eigentlich nur eine Variante von dem hier.
> Ich habe jetzt versucht, die zwei Gleichungen herzuleiten.
> Bin mir aber nicht sicher, ob sie stimmen, da ich beim
> Gleichsetzen auf kein Ergebnis komme.
>
> Gleichung der Mittelsenkrechte: y=(-a/b)x+(a²+b²)/(2b)
> Kreisgleichung: x²+y²=s² also x²+y²=a²+b²
>
> Bin ich auf dem richtigen Weg?
Zur Erinnerung: [mm] P_1 [/mm] liegt im Ursprung, [mm] P_2 [/mm] hat die Koordinaten (a,b) und Du suchst [mm] P_3.
[/mm]
Dann ist diese Rechnung bis hier absolut richtig.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:18 Di 14.06.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo kagu,
der Aufgabenstellung fehlt ein wesentliches Wort: zweidimensional.
Inhaltlich wird es durch die Hintertür dann doch am Rande erwähnt:
> Man beweise, dass für jede natürliche Zahl n die folgende
> Aussage gilt:
> Wenn die Anzahl der Ecken eines regelmäßigen Vielecks
> gleich 3n ist, dann gibt es kein rechtwinkliges
> Koordinatensystem, in dem beide Koordinaten jedes
> Eckpunktes dieses Vielecks rationale Zahlen sind.
Ohne das Wort "beide" wäre die Aussage falsch.
So sind z.B. [mm] \vektor{0\\1\\1}, \vektor{1\\0\\1}, \vektor{1\\-1\\0}, \vektor{0\\-1\\-1}, \vektor{-1\\0\\-1} [/mm] und [mm] \vektor{-1\\1\\0} [/mm] die Ecken eines regelmäßigen, ebenen Sechsecks im gewöhnlichen dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem. Die Ebene, in der es liegt, ist diese:
E: [mm] \vec{x}*\vektor{-1\\-1\\1}=0
[/mm]
Ansonsten wirst Du nun aber zeigen müssen, dass zwischen zwei Punkten mit rationalen Koordinaten keine Strecke liegen kann, deren Länge ein rationales Vielfaches von [mm] \wurzel{3} [/mm] ist. Aber dahin bis Du ja gerade in guter Begleitung unterwegs.
Viel Erfolg!
reverend
|
|
|
| |
|
Hallo kagu,
ich gehe mal mit Vektorrechnung an die Sache heran. Da gäbe es auch mehrere Wege, aber ich will so vorgehen:
Ein Punkt liege im Ursprung, ein zweiter habe den Ortsvektor [mm] \vec{p}_2=\vektor{a\\b}, [/mm] und der dritte Punkt ist nun gesucht.
Wie Du siehst, bleibe ich einfach bei den bisherigen Koordinatenbezeichnung, wechsle also eigentlich nur die Schreibweise.
Wir wissen nun über regelmäßige (gleichseitige) Dreiecke, dass es für den dritten Punkt zwei Möglichkeiten gibt:
[mm] \vec{p}_3=\bruch{1}{2}\vec{p_2}\pm\bruch{1}{2}\wurzel{3}\vektor{-b\\a}
[/mm]
Die Koordinaten sind also entweder [mm] \tfrac{1}{2}(a-\wurzel{3}b;b+\wurzel{3}a) [/mm] oder [mm] \tfrac{1}{2}(a+\wurzel{3}b;b-\wurzel{3}a).
[/mm]
Da [mm] a,b\in\IQ [/mm] vorausgesetzt waren, ist nun keine dieser vier möglichen Koordinaten rational.
Nun weiß ich allerdings nicht, welche Mittel Dir zur Verfügung stehen, um das zu zeigen, oder ob Du dieses Wissen voraussetzen darfst.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:48 Mi 15.06.2011 | | Autor: | kagu |
Hallo
danke nochmals fürs helfen. ich habe noch bis 12 zeit die aufgabe zu lösen. also ich verstehe nicht ganz wie du auf diese lösung kommst gibt es da eine formel oder kannst du mir bitte erklären wie das funktioniert?
aja und wenn ich nach meinen ergebnissen weiterrechne dann löse ich nach y auf was ja [mm] sqrt(a^2+b^2-x^2) [/mm] ist und setzte in die zweite gleichung ein. aber ich komme da auf kein ergebnis. bitte helft mir noch weiter. danke
glg kagu
|
|
|
| |
|
Hallo kagu,
> danke nochmals fürs helfen. ich habe noch bis 12 zeit die
> aufgabe zu lösen. also ich verstehe nicht ganz wie du auf
> diese lösung kommst gibt es da eine formel oder kannst du
> mir bitte erklären wie das funktioniert?
Die Höhe eines gleichseitigen Dreicks der Seitenlänge s beträgt doch [mm] h=\tfrac{1}{2}\wurzel{3}s
[/mm]
Das ist das einzige, was ich angewandt habe.
> aja und wenn ich nach meinen ergebnissen weiterrechne dann
> löse ich nach y auf was ja [mm]sqrt(a^2+b^2-x^2)[/mm] ist und
> setzte in die zweite gleichung ein. aber ich komme da auf
> kein ergebnis. bitte helft mir noch weiter. danke
Das rechnest Du besser an der Stelle dieses Threads vor, wo dieser Ansatz verfolgt wird, sonst steigt hier nämlich kein Helfer mehr durch. Ansonsten sieht das doch soweit ok aus.
Grüße
reverend
> glg kagu
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:04 Mi 15.06.2011 | | Autor: | kagu |
hei
stimmt meine ansicht:?
der Vektor P1 geht von Punkt P1 nach P2
der Vektor P2 geht von Punkt P3 nach P2 (Bildlich gesehen)
und der Vektor P3 soll von Punkt P1 nach P3 gehen.
nun kann ich den Vektor P3 als Addition von Vektor P1 und P2 sehen, bzw. mit den entsprechenden Längen d.h. 1/2P1 + 1/2 sqrt(3)P2. Wobei jetzt der Vektor P2 in die umgekehrte richtung geht und deshalb (-b a) ist
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> stimmt meine ansicht:?
> der Vektor P1 geht von Punkt P1 nach P2
> der Vektor P2 geht von Punkt P3 nach P2 (Bildlich
> gesehen)
> und der Vektor P3 soll von Punkt P1 nach P3 gehen.
Nein. [mm] \vec{p}_1, \vec{p}_2, \vec{p}_3 [/mm] sind die Ortsvektoren der drei Eckpunkte. Da [mm] P_1 [/mm] im Ursprung liegt, vereinfacht sich die Rechnung entsprechend.
> nun kann ich den Vektor P3 als Addition von Vektor P1 und
> P2 sehen,
Nein, das wäre nur der Fall, wenn ich die Dreiecksseiten als Vektoren definiert hätte. In der vorliegenden Rechnung ist allerdings der Ortsvektor [mm] \vec{p}_2 [/mm] zugleich ein Seitenvektor.
> bzw. mit den entsprechenden Längen d.h. 1/2P1 +
> 1/2 sqrt(3)P2. Wobei jetzt der Vektor P2 in die umgekehrte
> richtung geht und deshalb (-b a) ist
Nein, dann müsste er (-a,-b) als Komponenten haben. (-b,a) ist ein auf (a,b) senkrecht stehender Vektor, offenbar gleicher Länge.
Ich laufe also bis zur Mitte der Seite (also [mm] \tfrac{1}{2}\vec{p}_2 [/mm] in der Rechnung) und biege dann rechtwinklig ab auf die "Höhe" (genauer: die Höhenlotlinie), die im gleichseitigen Dreieck ja genau auf der Mitte jeder Seite steht. Von dort beträgt die Entfernung zur gegenüberliegenden Ecke ja genau [mm] \tfrac{1}{2}\wurzel{3}s, [/mm] wobei s die Seitenlänge ist.
Mit dem Vektor (-b,a) habe ich ich nun gerade einen, der senkrecht auf der Seite steht und die gleiche Länge hat, so dass ich diesen nur noch durch den entsprechenden Vorfaktor skalieren muss.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:38 Mi 15.06.2011 | | Autor: | kagu |
Hallo
na ja klar, ich habe mich vorhin verlesen bei P1 und P2 na manchmal steh ich auf der leitung. ich habs jetzt verstanden. Danke
glg kagu
|
|
|
|
