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| Aufgabe | | Ist das Viereck mit den vier Eckpunkten A, B, C und D eben? |
Hallo!
Wenn das Viereck eben sein soll,dann müssten doch auch die Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] , [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] , [mm] \overrightarrow{CD} [/mm] und [mm] \overrightarrow{DA} [/mm] komplanar sein, also auf einer Ebene liegen oder?
Meine Frage ist also: Gilt auch bei vier Vektoren,dass sie komplanar sind, wenn sich mindestens einer von ihnen als Linearkombination der anderen drei Vektoren darstellen lässt? Bzw.,dass die Linearkombination aller vier Vektoren 0 ergibt?
Vielen Dank im Voraus.
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> Ist das Viereck mit den vier Eckpunkten A, B, C und D
> eben?
> Hallo!
> Wenn das Viereck eben sein soll,dann müssten doch auch die
> Vektoren [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] , [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] ,
> [mm]\overrightarrow{CD}[/mm] und [mm]\overrightarrow{DA}[/mm] komplanar sein,
> also auf einer Ebene liegen oder?
Hallo,
ja, so ist das.
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> Meine Frage ist also: Gilt auch bei vier Vektoren,dass sie
> komplanar sind, wenn sich mindestens einer von ihnen als
> Linearkombination der anderen drei Vektoren darstellen
> lässt? Bzw.,dass die Linearkombination aller vier Vektoren
> 0 ergibt?
Hallo,
nein, so geht das nicht. Daß es eine Linearkombination der vier Vektoren gibt, die 0 ergibt, hat nichts zu sagen darüber, ob die Vektoren in einer Ebene liegen. Du bewegst Dich ja gerade im [mm] \IR^3. [/mm] Da kann es, wenn man vier Vektoren hat, gar nicht anders sein, als daß es eine nichttriviale Linearkombination gibt, welche Null ergibt. (Stichwort: Basis, Dimension)
Die Ebene ist ein zweidimensionales Gebilde, sie wird aufgespannt von zwei nicht kollinearen Vektoren.
Du nimmst nun 3 Punkte Deines Viereckes (von welchen hoffentlich nicht drei gemeinsam auf einer Geraden iegen) und stellst die Ebenengleichung auf. Anschließend prüfst Du, ob auch der 4.Punkt in dieser Ebene liegt.
Gruß v. Angela
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> Ist das Viereck mit den vier Eckpunkten A, B, C und D
> eben?
> Hallo!
> Wenn das Viereck eben sein soll,dann müssten doch auch die
> Vektoren [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] , [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] ,
> [mm]\overrightarrow{CD}[/mm] und [mm]\overrightarrow{DA}[/mm] komplanar sein,
> also auf einer Ebene liegen oder?
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> Meine Frage ist also: Gilt auch bei vier Vektoren,dass sie
> komplanar sind, wenn sich mindestens einer von ihnen als
> Linearkombination der anderen drei Vektoren darstellen
> lässt?
Nein, wie Angela bereits erklärt hat, sind im [mm] $\IR^3$ [/mm] mehr als drei Vektoren immer linear abhängig.
Aber es ist wahr (glaube ich), dass die vier Punkte $A,B,C,D$ genau dann in einer Ebene liegen, wenn die drei Vektoren [mm] $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}$ [/mm] linear abhängig sind.
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