Ebenenschar < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 So 12.06.2011 | | Autor: | Delia00 |
| Aufgabe | geg:
Ebenenschar mit:
[mm] E_{t}: \vec{a}= \vektor{2 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ 0 \\ t } [/mm] + [mm] \mu \vektor{2 \\ 1 \\ 2t+1 } [/mm]
zz.: Betrachte die Menge aller Punkte, die auf allen Ebenen [mm] E_{t} [/mm] der Ebenenschar liegen. Stelle ggf. die Parameterdarstellung für diese Menge auf. |
Hallo zusammen,
ich verstehe die Aufgabenstellung leider überhaupt nicht.
Könnte mir da bitte jemand weiterhelfen.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 So 12.06.2011 | | Autor: | abakus |
> geg:
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> Ebenenschar mit:
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> [mm]E_{t}: \vec{a}= \vektor{2 \\ 0 \\ 0 }[/mm] + [mm]\lambda \vektor{1 \\ 0 \\ t }[/mm]
> + [mm]\mu \vektor{2 \\ 1 \\ 2t+1 }[/mm]
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> zz.: Betrachte die Menge aller Punkte, die auf allen Ebenen
> [mm]E_{t}[/mm] der Ebenenschar liegen. Stelle ggf. die
> Parameterdarstellung für diese Menge auf.
> Hallo zusammen,
>
> ich verstehe die Aufgabenstellung leider überhaupt nicht.
Hallo,
wo ist dein Problem? Kennst du den Begriff "Schar" nicht oder hängt es woanders?
Wenn du dir für "t" einen konkreten Wert aussuchst, bekommst du eine konkrete Ebene.
Beispielsweise erhältst du für t=0 die Ebene
[mm]E_{0}: \vec{a}= \vektor{2 \\ 0 \\ 0 }[/mm] + [mm]\lambda \vektor{1 \\ 0 \\\red{0} }[/mm] + [mm]\mu \vektor{2 \\ 1 \\ 2*\red{0}+1 }[/mm] ,
und für t=-3 die Ebene
[mm]E_{-3}: \vec{a}= \vektor{2 \\ 0 \\ 0 }[/mm] + [mm]\lambda \vektor{1 \\ 0 \\\red{-3} }[/mm] + [mm]\mu \vektor{2 \\ 1 \\ 2*\red{(-3)}+1 }[/mm] ,
und für t=2,1 die Ebene
[mm]E_{2,1}: \vec{a}= \vektor{2 \\ 0 \\ 0 }[/mm] + [mm]\lambda \vektor{1 \\ 0 \\\red{2,1} }[/mm] + [mm]\mu \vektor{2 \\ 1 \\ 2*\red{2,1}+1 }[/mm] .
Die Frage ist nun: Gibt es Punkte, die all diese verschiedenen Ebenen gemeinsam haben?
Gruß Abakus
>
> Könnte mir da bitte jemand weiterhelfen.
>
> Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 So 12.06.2011 | | Autor: | Delia00 |
Rein theoretisch müsste es doch dann die Schnittgerade sein.
Wie überprüfe ich dann, ob die Gleichung der Schnittgerade die Gleichung der Ebenenschar erfüllt?
Muss ich die beides dann einfach gleichsetzen??
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 So 12.06.2011 | | Autor: | abakus |
> Rein theoretisch müsste es doch dann die Schnittgerade
> sein.
Nicht unbedingt. Alle Ebenen können auch nur einen gemeinsamen Punkt besitzen oder gar keinen.
Aber der Ansatz ist möglich und vernünftig.
Sicher ist ja schon mal, dass alle Ebenen den Punkt (2|0|0) gemeinsam haben.
Wähle dir jetzt mal zwei besonders einfache Ebenen dieser Schar aus (z.B. mit t=0 und t=1) und bestimme deren Schnittgerade.
Überpüfe dann, ob diese Schnittgerade [mm] \red{zweier} [/mm] Ebenen auch in allen anderen Ebenen (mit beliebigem t) enthalten ist.
Gruß Abakus
> Wie überprüfe ich dann, ob die Gleichung der
> Schnittgerade die Gleichung der Ebenenschar erfüllt?
>
> Muss ich die beides dann einfach gleichsetzen??
>
>
> Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 So 12.06.2011 | | Autor: | Delia00 |
Ich hab die Ebene [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{2} [/mm] genommen.
Daraus kam dann die Schnittgerade g mit:
g: [mm] \vec{x}= \vektor{2 \\ 0 \\ 0 } \mu \vektor{0 \\ -1 \\ -1 } [/mm] heraus.
Ich hab dies dann mit der Schar gleichgesetzt, aber irgendwie kann man es nicht nach t umstellen.
Was mach ich da verkehrt??
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Hallo Delia00,
> Ich hab die Ebene [mm]E_{1}[/mm] und [mm]E_{2}[/mm] genommen.
>
> Daraus kam dann die Schnittgerade g mit:
>
>
> g: [mm]\vec{x}= \vektor{2 \\ 0 \\ 0 } \mu \vektor{0 \\ -1 \\ -1 }[/mm]
Das soll hier wohl so lauten:
[mm]g: \vec{x}= \vektor{2 \\ 0 \\ 0 } \blue{+} \mu \vektor{0 \\ -1 \\ -1 }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> heraus.
>
>
> Ich hab dies dann mit der Schar gleichgesetzt, aber
> irgendwie kann man es nicht nach t umstellen.
>
> Was mach ich da verkehrt??
Nichts.
Zeige jetzt, daß diese Gerade jede andere Ebene schneidet.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 So 12.06.2011 | | Autor: | Delia00 |
Ah, jetzt hab ich es raus.
Ich hab die Normalenform der Ebenenschar genommen und die Geradengleichung in diese eingesetzt.
Am Ende kam dann heraus, dass -2t=-2t
und somit erfüllt jedes t die Gleichung.
Danke für eure Hilfe
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