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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Di 21.12.2010 | | Autor: | rubi |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Ebenenschar [mm] E_t: tx_1-x_2+2x_3=t. [/mm]
Bestimme die gemeinsamen Punkte aller Ebenen [mm] E_t. [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe die Aufgabe folgendermaßen gelöst:
Zunächst wähle ich zwei konkrete Ebenen der Schar aus (z.B. t = 1 und t = 2).
[mm] E_1: x_1-x_2+2x_3 [/mm] = 1 (1)
[mm] E_2: 2x_1-x_2+2x_3 [/mm] = 2 (2)
Nun bestimme ich von diesen beiden Ebenen die Schnittgerade durch Lösen des Gleichungssystems:
(1) [mm] x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = 1
(2) - (1) [mm] x_1 [/mm] = 1
Da das LGS unendlich viele Lösungen hat, wähle ich für [mm] x_3 [/mm] = s und setze dies in (1) ein. Daraus ergibt sich [mm] x_2 [/mm] = 2s.
Die Schnittgerade g lautet nun: [mm] \overrightarrow{x}= \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] s*\vektor{0 \\ 2 \\ 1}.
[/mm]
Nun prüfe ich, ob diese Schnittgerade auch auf allen anderen Ebenen der Schar liegt.
Einsetzen der Geradengleichung in [mm] E_t [/mm] ergibt:
t*1 - 2*s + 2*s = t und daraus folgt 0 = 0.
Damit liegt die Gerade g auch auf den anderen Ebenen der Schar und die Lösung der Aufgabe wäre damit die Angabe der Geradengleichung.
Ist das so richtig ?
Ein alternativer Lösungsweg wäre meines Erachtens, dass man nicht t = 1 und t = 2 in die Ebenenschar einsetzt, sondern von vornherein mit allgemeinen Parametern [mm] t_1 [/mm] und [mm] t_2 [/mm] zwei Ebenen der Schar schneidet.
Dies sollte auf dasselbe Ergebnis führen.
Ist dieser alternative Lösungsweg besser als der, den ich gewählt habe, oder ist das gleichwertig ?
Vielen Dank für Eure Hilfe !
Viele Grüße
Rubi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo rubi,
alles richtig, auch die Vorgehensweise.
Grüße
reverend
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