Ebenenschaar und Schnittgerade < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 So 28.09.2008 | | Autor: | inuma |
| Aufgabe | | Gegeben ist die Ebene fa mit (1+a)x+(1-a)y-2az = 2. Zeigen Sie das alle fa sich in einer Geraden schneiden. |
Aus der Aufgabenstellung kann man folgendes ableiten:
fa = fb (fb ist eine zweite beliebige Schaar)
Ich gebe fa in Paramterform an
fa: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\1 \\0} [/mm] + r [mm] \vektor{2a \\0 \\1+a} [/mm] +s [mm] \vektor{1-a \\-1-a \\0}
[/mm]
jetzt setzen ich dies in fb ein
fb: [mm] \vec{x} [/mm] = (1+b)x+(1-b)y-2bz = 2
fb: [mm] \vec{x} [/mm] = (1+b)*(1+2ar+s-sa)+ (1-b)*(1-s-sa) -2a (r+ra) =2
das Auflösen dieser Gerade ergibt folgendes
[mm] 1+2ar+s-sa+b+2abr+bs+abs+1-s-sa-b+sb+abs-2ar-2a^{2}r [/mm] =2
2+ [mm] 2abr+2abs+2bs-2a^r [/mm] = 2 |:2, -2
abr + abs + bs [mm] -a^{2}r [/mm] = 0
umstellen nach einer variable
r = [mm] \bruch{s(ab+b)}{ab+a^{2}}
[/mm]
Da ich für r auf einen bestimmten wert komme, ist anzunehmen, dass sich 2 verschiedene fa in einer geraden schneiden werden.
kann das so stimmen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 So 28.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast ja die Ebene
[mm] F_{a}:\vec{x}=\vektor{1\\1\\0}+r\vektor{2a\\0\\1+a}+s\vektor{1-a\\-1-a\\0}
[/mm]
Und wenn du diese mit [mm] F_{b} [/mm] schneidest, ergibt sich:
[mm] r=\bruch{s(ab+b)}{ab+a^{2}}
[/mm]
Und wenn du das mal in [mm] F_{a} [/mm] einsetzt, ergibt sich nach einigem Umformen eine Geradengleichung mit dem Parameter s.
Also:
[mm] \vec{x}=\vektor{1\\1\\0}+\bruch{s(ab+b)}{ab+a^{2}}\vektor{2a\\0\\1+a}+s\vektor{1-a\\-1-a\\0}
[/mm]
[mm] \gdw\vec{x}=\vektor{1\\1\\0}+s*\bruch{ab+b}{ab+a^{2}}\vektor{2a\\0\\1+a}+s\vektor{1-a\\-1-a\\0}
[/mm]
[mm] \gdw\vec{x}=\vektor{1\\1\\0}+s*\vektor{2a*\bruch{ab+b}{ab+a^{2}}\\0\\(1+a)*\bruch{ab+b}{ab+a^{2}}}+s\vektor{1-a\\-1-a\\0}
[/mm]
[mm] \gdw\vec{x}=\vektor{1\\1\\0}+s*\left[\vektor{\bruch{2(ab+b)}{b+a}\\0\\\bruch{(1+a)(ab+b)}{ab+a^{2}}}+\vektor{1-a\\-1-a\\0}\right]
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 So 28.09.2008 | | Autor: | inuma |
Gut danke, diese Umformung war auch der tiefere Gedanke hinter meinen Bemühungen.
Ich hatte sie nicht gemacht, weil ich erst wissen woltle, ob ich auf der richtigen Fährte bin ^^.
Danke für deine Hilfe und liebe Grüße.
| Aufgabe | | Gegeben ist die Ebene fa mit (1+a)x+(1-a)y-2az = 2. Zeigen Sie das alle fa sich in einer Geraden schneiden. |
Aus der Aufgabenstellung kann man folgendes ableiten:
fa = fb (fb ist eine zweite beliebige Schaar)
Ich gebe fa in Paramterform an
fa: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\1 \\0} [/mm] + r [mm] \vektor{2a \\0 \\1+a} [/mm] +s [mm] \vektor{1-a \\-1-a \\0}
[/mm]
jetzt setzen ich dies in fb ein
fb: [mm] \vec{x} [/mm] = (1+b)x+(1-b)y-2bz = 2
fb: [mm] \vec{x} [/mm] = (1+b)*(1+2ar+s-sa)+ (1-b)*(1-s-sa) -2a (r+ra) =2
das Auflösen dieser Gerade ergibt folgendes
[mm] 1+2ar+s-sa+b+2abr+bs+abs+1-s-sa-b+sb+abs-2ar-2a^{2}r [/mm] =2
2+ [mm] 2abr+2abs+2bs-2a^r [/mm] = 2 |:2, -2
abr + abs + bs [mm] -a^{2}r [/mm] = 0
umstellen nach einer variable
r = [mm] \bruch{s(ab+b}{ab+a^{2}}
[/mm]
Da ich für r auf einen bestimmten wert komme, ist anzunehmen, dass sich 2 verschiedene fa in einer geraden schneiden werden.
kann das so stimmen
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