Ebenengleichung in Determinantenform < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Fr 09.01.2004 | | Autor: | Olliput |
Hallo Leute, hab leider wieder nen Problem mit ner Übungsaufgabe und meine Kommolitonen konnten mir da leider auch nicht weiterhelfen. Deshalb wende ich mich jetzt vertrauensvoll an euch ;). Es geht um folgende Aufgabe:
Gegeben seien drei Punkte A 1 =(a,b,c), A 2 =(d,e,f) und A 3 =(g,h,i) in R 3 , die nicht auf einer
Geraden liegen. Zeigen Sie:
( 1 x y z )
( 1 a b c )
det( 1 d e f )=0
( 1 g h i )
ist eine lineare Gleichung in den Unbekannten x,y,z, deren Lösungsmenge die Ebene durch A 1 =(a,b,c), A 2 =(d,e,f) und A 3 =(g,h,i) ist.
Hab wie gesagt keinen Peil wie das zu beweisen ist, hoffe ihr könnt mir aus der Klemme helfen.
Mfg Olliput
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Fr 09.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Olliput,
das ist gar nicht so schwierig, ich gebe dir mal ein paar Tipps.
Wie man mit Determinanten umgeht und sie ausrechnet, wirst du wahrscheinlich schon wissen. Insbesondere wirst du den Laplaceschen Entwicklungssatz kennen.
Was auch noch hilfreich bei der Lösung ist, ist das Vektorprodukt und die Normalenform der Geradengleichung zu kennen.
Falls du eines dieser Dinge nicht kennst, frage bitte nach.
Zunächst würde ich mir überlegen, was die beiden Richtungsvektoren [mm] \vec u [/mm] und [mm] \vec v [/mm] der Ebene sind. Eine mögliche Wahl ist
[mm] \begin{pmatrix}
d-a \\ e-b \\ f-c
\end{pmatrix} [/mm] und [mm] \begin{pmatrix}
g-a \\ h-b \\ i-c
\end{pmatrix} [/mm].
Ein Normalenvektor [mm] \vec n [/mm] ist dann (mit dem Vektorprodukt berechnet):
[mm] \vec n = \begin{pmatrix}
d-a \\ e-b \\ f-c
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
g-a \\ h-b \\ i-c
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
(e-b)(i-c)-(f-c)(h-b) \\ (f-c)(g-a)-(d-a)(i-c) \\ (d-a)(h-b)-(e-b)(g-a)
\end{pmatrix}
[/mm].
Lassen wir dieses Zwischenergebnis erst mal so stehen und wenden uns der Determinante bzw. der Gleichung zu.
(Korrekturanmerkung: Ab hier habe ich die Einträge, die ich falsch abgeschrieben hatte, korrigiert. Da aber nicht viel mit den Einträgen gerechnet wurde, war dieser Fehler nicht tragisch. Marc.)
[mm] \begin{vmatrix}
1 & x & y & z \\
1 & a & b & c \\
1 & d & e & f \\
1 & g & h & i
\end{vmatrix} = 0[/mm]
Dort erreiche ich durch Subtraktion der 2. Zeile von der 3. und 4. Zeile, dass in ihr die Koordinaten der Richtungsvektoren (siehe oben) stehen; der Wert der Determinante ändert sich dadurch nicht, er bleibt 0:
[mm] \gdw \begin{vmatrix}
1 & x & y & z \\
1 & a & b & c \\
0 & d-a & e-b & f-c \\
0 & g-a & h-b & i-c
\end{vmatrix} = 0 [/mm]
Nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz (ich entwickle nach der 1. Spalte) ist nun:
[mm] \gdw 1*\begin{vmatrix}
a & b & c \\
d-a & e-b & f-c \\
g-a & h-b & i-c
\end{vmatrix} -
1*\begin{vmatrix}
x & y & z \\
d-a & e-b & f-c \\
g-a & h-b & i-c
\end{vmatrix}
+0*\begin{vmatrix}
\cdots
\end{vmatrix}
-0*\begin{vmatrix}
\cdots
\end{vmatrix}
= 0 [/mm]
[mm] \gdw \begin{vmatrix}
a & b & c \\
d-a & e-b & f-c \\
g-a & h-b & i-c
\end{vmatrix} -
\begin{vmatrix}
x & y & z \\
d-a & e-b & f-c \\
g-a & h-b & i-c
\end{vmatrix}
= 0 [/mm]
[mm] \gdw \begin{vmatrix}
a & b & c \\
d-a & e-b & f-c \\
g-a & h-b & i-c
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
x & y & z \\
d-a & e-b & f-c \\
g-a & h-b & i-c
\end{vmatrix} [/mm]
Entwickle diese beiden Determinanten mal jeweils nach der 1. Zeile (die Differenzen würde ich nicht ausmultiplizieren!) und vergleiche die dann entstandene Gleichung mit der Normalenform der Ebene, die ich jetzt auch noch formelhaft angebe:
[mm] \vec{n}*\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \vec{n}*\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} [/mm]
Was stellst du fest?
Melde dich bitte bei weiteren Problemen/Fragen oder sogar mit der Lösung!
Viel Erfolg,
Marc.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Mo 12.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Olliput,
hier die komplette Lösung, als Wiedergutmachung für meine ehemals falsche Antwort:
Es gilt:
[mm] \begin{vmatrix}
1 & x & y & z \\
1 & a & b & c \\
1 & d & e & f \\
1 & g & h & i
\end{vmatrix} = 0[/mm]
und wir waren mit den Umformungen der Determinante hier stehen geblieben:
[mm] \begin{vmatrix}
a & b & c \\
d-a & e-b & f-c \\
g-a & h-b & i-c
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
x & y & z \\
d-a & e-b & f-c \\
g-a & h-b & i-c
\end{vmatrix} [/mm]
Diese Determinanten entwickle ich nach der ersten Zeile:
[mm] \gdw a*\begin{vmatrix}
e-b & f-c \\
h-b & i-c
\end{vmatrix}
-b*\begin{vmatrix}
d-a & f-c \\
g-a & i-c
\end{vmatrix}
+c*\begin{vmatrix}
d-a & e-b \\
g-a & h-b
\end{vmatrix} [/mm]
[mm]= x*\begin{vmatrix}
e-b & f-c \\
h-b & i-c
\end{vmatrix}
-y*\begin{vmatrix}
d-a & f-c \\
g-a & i-c
\end{vmatrix}
+z*\begin{vmatrix}
d-a & e-b \\
g-a & h-b
\end{vmatrix} [/mm]
[mm]\gdw a*\left\lbrack (e-b)(i-c) - (f-c)(h-b) \right\rbrack - b*\left\lbrack (d-a)(i-c)-(f-c)(g-a)\right\rbrack + c*\left\lbrack (d-a)(h-b)-(e-b)(g-a) \right\rbrack [/mm]
[mm]= x*\left\lbrack (e-b)(i-c) - (f-c)(h-b) \right\rbrack - y*\left\lbrack (d-a)(i-c)-(f-c)(g-a)\right\rbrack + z*\left\lbrack (d-a)(h-b)-(e-b)(g-a) \right\rbrack [/mm]
[mm]\gdw a*\left\lbrack (e-b)(i-c) - (f-c)(h-b) \right\rbrack + b*\left\lbrack (f-c)(g-a)-(d-a)(i-c)\right\rbrack + c*\left\lbrack (d-a)(h-b)-(e-b)(g-a) \right\rbrack [/mm]
[mm]= x*\left\lbrack (e-b)(i-c) - (f-c)(h-b) \right\rbrack + y*\left\lbrack (f-c)(g-a)-(d-a)(i-c)\right\rbrack + z*\left\lbrack (d-a)(h-b)-(e-b)(g-a) \right\rbrack [/mm]
[mm]\gdw \begin{pmatrix}
(e-b)(i-c)-(f-c)(h-b) \\ (f-c)(g-a)-(d-a)(i-c) \\ (d-a)(h-b)-(e-b)(g-a)
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
a \\ b \\ c
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
(e-b)(i-c)-(f-c)(h-b) \\ (f-c)(g-a)-(d-a)(i-c) \\ (d-a)(h-b)-(e-b)(g-a)
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}[/mm]
(siehe meine vorherigen Überlegungen zum Vektorprodukt)
[mm] \gdw \left( \begin{pmatrix}
d-a \\ e-b \\ f-c
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
g-a \\ h-b \\ i-c
\end{pmatrix}\right) * \begin{pmatrix}
a \\ b \\ c
\end{pmatrix}=\left( \begin{pmatrix}
d-a \\ e-b \\ f-c
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
g-a \\ h-b \\ i-c
\end{pmatrix}\right) * \begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix} [/mm]
[mm] \gdw \vec n * \begin{pmatrix}
a \\ b \\ c
\end{pmatrix}=\vec n * \begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix} [/mm]
[mm] \gdw \vec n * \left( \begin{pmatrix}
a \\ b \\ c
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}\right) = 0 [/mm] (Normalengleichung einer Ebene) [mm]\Box[/mm]
Alles klar geworden? Falls nicht, frage bitte nach.
Alles Gute,
Marc.
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