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| Aufgabe | Geben Sie die Gleichung der Ebene an, die durch die Punkte A und B verläuft und parallel zur Geraden g ist. Überprüfen Sie, ob g in E liegt.
A(3/1/-1)
B (2/1/0)
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 3} [/mm] + r [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -3} [/mm] |
Schönen Sonntag zusammen,
haben als Hausaufgabe und Einführung in das neue Thema die oben genannte Aufgabe aufbekommen.
Leider weiß ich keine Lösungsansatz. Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen???
Viele Grüße
Esther
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 So 01.06.2008 | | Autor: | Complex |
Hallo!
Die Gleichung einer Ebene wird ja folgendermaßen angeben:
[mm]E: \vec x=\vec x_0 + s* \vec v +t* \vec w[/mm]
Dabei ist [mm]\vec x_0[/mm] der Ortsvektor und [mm]\vec v[/mm] und [mm]\vec w[/mm] die Richtungsvektoren.
Nachdem die beiden Punkte auf der Ebene liegen sollen, nimmt man als Ortsvektor einfach den Ortsvektor von einem der beiden Punkte, z.B. von Punkt A. Also
[mm]E: \vec x = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + s* \vec v +t* \vec w[/mm]
Nun fehlen noch die Richtungsvektoren. Damit der zweite Punkt auf der Ebene liegt, nimmt man als einen der Richtungsvektoren den Differenzvektor der Ortsvektoren der beiden Punkte
[mm]\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}[/mm]
Als den anderen Richtungsvektor nimmt man den Richungsvektor der Geraden, damit diese parallel sind. Also ist die Ebenengleichung
[mm]E: \vec x=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}[/mm]
Die Gerade liegt genau dann in der Ebene, wenn der Differenzvektor des Ortsvektors der Ebene und des Ortsvektors der Geraden [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} - \vektor{-1 \\ 0 \\ 3} = \vektor{4\\1\\-4}[/mm] und die beiden Richtungsvektoren der Ebene [mm]\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}[/mm] und [mm]\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}[/mm] linear abhängig sind. Das zu überprüfen, bekommst du denke ich selbst hin.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 So 01.06.2008 | | Autor: | weduwe |
> Geben Sie die Gleichung der Ebene an, die durch die Punkte
> A und B verläuft und parallel zur Geraden g ist. Überprüfen
> Sie, ob g in E liegt.
>
> A(3/1/-1)
> B (2/1/0)
>
> g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 3}[/mm] + r [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ -3}[/mm]
>
> Schönen Sonntag zusammen,
>
> haben als Hausaufgabe und Einführung in das neue Thema die
> oben genannte Aufgabe aufbekommen.
> Leider weiß ich keine Lösungsansatz. Kann mir vielleicht
> jemand weiterhelfen???
>
> Viele Grüße
> Esther
wenn du das vektorprodukt kennst:
[mm]E: (\vec{x}-\vektor{2\\1\\0})\cdot(\overrightarrow{AB}\times\vektor{1\\2\\-3})=0[/mm]
und nun setzt du P in E ein, was einen widerspruch ergibt falls [mm] P\not\in [/mm] E
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