Ebenen mit 2 Punkten < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 Mo 28.04.2008 | | Autor: | stikken |
| Aufgabe | Gegeben seien eine Ebene E sowie zwei Punkte A und B
1. Gesucht ist der Punkt P auf der Ebene derart, dass die Summe seiner Entfernungen von den gegebenen Punkten A und B möglichst gering wird. Geben Sie eine allgemeine Lösung an.
2. Betrachten Sie nun den speziellen Fall mit den Punkten A(20; 0; 15) und B(7; -19,5; 46) sowie der Ebene E: 4x - 4y + 7z - 20 = 0. Hinweis: Die Ebene teilt den Raum in zwei Halbräume ein. Untersuchen Sie zunächst, ob die Punkte im selben Halbraum liegen.
Erläutern Sie Ihre mit Hilfe der Vektorrechnung gefundenen Lösungen.
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Hallo zusammen,
nunja, meine Frage wäre wie ein geeigneter Lösungsanstz zu den beiden Aufgabe aussehen würde. Zu Aufgabe 1 fällt mir ehrlich gesagt nichts ein wie man die Summe der Entfernungen möglichst gering hält. Muss der Punkt hierzu quasi mittig zwischen den beiden Punkten auf der Ebende liegen? Oder kann man von einem Punkt eine senkrechte zur Ebende bestimmen und dann den Schnittpunkt nehmen?
Zur 2. Aufgabe hatte ich mir zunächst überlegt aus den beiden Punkten einen Gerade zu bestimmen und den Schnittpunkt mit der Ebene zu berechnen (der Gedanke war, sollte es einen Schnittpunkt geben liegen sie in zwei Halbräumen, wenn nicht dann nicht ;). Diesen Ansatz hab ich allerdings verworfen da die Gerade die Ebene ja auch schneiden kann wenn beide Punkt in einem Halbraum liegen!?
Wäre super wenn mir jmd. einen vernünftigen Lösungsansatz für die beiden Aufgaben geben könnte. Ich würde dann versuchen diesen nachzuvollziehen und die Aufgaben zu lösen.
Gruß
P.S.:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
> Muss der Punkt hierzu quasi mittig zwischen den beiden Punkten auf der Ebende liegen?
Ja, genau das ist es.
Musst du aber schon noch nachweisen. (Aber erst nachdem dir das nächste klar ist.)
> Zur 2. Aufgabe hatte ich mir zunächst überlegt aus den beiden Punkten einen Gerade zu bestimmen und den Schnittpunkt mit der Ebene zu berechnen.
Das wäre dann die dazu passende Konstruktion.
> Diesen Ansatz hab ich allerdings verworfen da die Gerade die Ebene ja auch schneiden kann wenn beide Punkt in einem Halbraum liegen!?
Und dies das zugehörige Problem.
Ist aber kein Grund die Idee direkt zu verwerfen.
Zeichne dir mal ein waagerechte Linie (die Ebene von der Seite) auf ein Blatt. Dann einmal 2 Punkte über der Ebene und einmal einen drüber, einen drunter.
Nun versuche für den Fall, in dem Beide über der Ebene liegen eine ähliche Lösung, wie für den anderen Fall, zu finden.
Ciao.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:57 Mo 28.04.2008 | | Autor: | stikken |
Also erstmal vielen Dank für deine Antwort.
Habe mir das ganze nochmal während meiner dreistündigen Pendelfahrt zur Uni durch den Kopf gehen lassen und folgendes ist dabei herausgekommen (den Nachweis das es wirklich der Punkt mittig in der Ebene zu den 2. Punkten ist der gesucht wird lass ich jetzt mal außen vor):
edit: Lösungsansatz zu Aufgabe 1 def. falsch
zu Aufgabe 1:
I. Aus den gegebenen Punkten zwei weitere Punkte auf der Ebene bestimmen, die senkrecht zu diesen sind (ehrlich gesagt hab ich im moment noch keine Ahnung wie das geht, sollte aber durch nachlesen in der entsprechenden Literatur schnell machbar sein... sonst droht ein weiterer Post von mir ;)
II. Geradengleichung aus den beiden Punkten bestimmen (kein problem :)
III. Mitte zwischen diesen beiden Punkten bestimmen (dazu müsste man [mm] \lambda [/mm] = 0,5 setzen oder irre ich mich?)
zu Aufgabe 2:
I. Aus den Punkten eine Geradengleichung bestimmen.
II. Schnittpunkt mit der Ebene berechnen.
III. [mm] \lambda [/mm] für diesen Schnittpunkt bestimmen. [mm] \lambda [/mm] müsste zwischen 0 und 1 liegen damit der Schnittpunkt mit der Ebene zwischen den beiden Punkten liegt und somit in unterschiedlichen Halbräumen. Sollte [mm] \lambda [/mm] < oder > sein liegen die Punkte im gleichen Halbraum.
Hoffe das macht Sinn, über eine kurze Rückmeldung würde ich mich freuen.
Noch eine Frage, könnte ich, wenn sich der Lösungsansatz als richtig herausstellt, meine Rechnungen hier posten damit die mal einer auf Richtigkeit prüft oder ist das nicht gern gesehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Mo 28.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn A und B auf verschiedenen Seiten der Ebene Liegen, ist es Klar: A und B durch ne Gerade verbinden, der Schnittpunkt ist der gesuchte.
jetzt A und B auf einer Seite von E
Man spiegelt z. Bsp B an der Ebene nach B' die Verbindung AB' trifft wieder im gesuchten Punkt P weil AP PB' die Kürzeste ist , ist das auch AP -PB wegen PB=PB'.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:42 Di 29.04.2008 | | Autor: | stikken |
| Aufgabe | Gegeben seien eine Ebene E sowie zwei Punkte A und B
1. Gesucht ist der Punkt P auf der Ebene derart, dass die Summe seiner Entfernungen von den gegebenen Punkten A und B möglichst gering wird. Geben Sie eine allgemeine Lösung an.
2. Betrachten Sie nun den speziellen Fall mit den Punkten A(20; 0; 15) und B(7; -19,5; 46) sowie der Ebene E: 4x - 4y + 7z - 20 = 0. Hinweis: Die Ebene teilt den Raum in zwei Halbräume ein. Untersuchen Sie zunächst, ob die Punkte im selben Halbraum liegen.
Erläutern Sie Ihre mit Hilfe der Vektorrechnung gefundenen Lösungen. |
Prinzipiell hast du recht, der gesuchte Punkt liegt nämlich nicht wie von mir vermutet mittig auf der Ebene zwischen A und B.
Dennoch habe ich noch ein Problem mit deinem Ansatz, dieser setzt vorraus, das bekannt ist ob die Punkte auf einer oder auf versch. Seiten der Ebene liegen. Das ist aber nicht der Fall.
Also wäre die Frage zu 1 wie ich an Punkt P komme, ohne zu wissen wie die Lage von A und B ist.
Und zu Aufgabe 2 bleibt die Frage ob mein Lösungsansatz aus meinem vorherigen Post zum gewünschten Ergebnis führt?
Auf jeden Fall schonmal vielen Dank für deine Antwort
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Di 29.04.2008 | | Autor: | Zneques |
> Prinzipiell hast du recht
Nene, er hat schon voll und ganz recht. 
> nicht wie von mir vermutet mittig
Oben hast du quasi mittig geschrieben. Das kann man noch als richtig interpretieren, da der Punkt ja zwischen den beiden Projektionen ist.
> setzt vorraus, das bekannt ist ob die Punkte auf einer oder auf versch. Seiten der Ebene liegen. Das ist aber nicht der Fall.
Dafür hast du die Lösung doch schon geschrieben :
> $ [mm] \lambda [/mm] $ müsste zwischen 0 und 1 liegen damit der Schnittpunkt mit der Ebene zwischen den beiden Punkten liegt und somit in unterschiedlichen Halbräumen.
Mit dem [mm] \lambda [/mm] findest du also herraus, ob die Punkte auf verschiedenen Seiten liegen.
> Und zu Aufgabe 2 bleibt die Frage ob mein Lösungsansatz aus meinem vorherigen Post zum gewünschten Ergebnis führt?
Du musst noch die Spiegelung für den Fall, dass beide auf einer Seite liegen einbauen.
Zu 1. fehlt dann noch die Begründung.
Ciao.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Di 29.04.2008 | | Autor: | stikken |
| Aufgabe | Gegeben seien eine Ebene E sowie zwei Punkte A und B
1. Gesucht ist der Punkt P auf der Ebene derart, dass die Summe seiner Entfernungen von den gegebenen Punkten A und B möglichst gering wird. Geben Sie eine allgemeine Lösung an.
2. Betrachten Sie nun den speziellen Fall mit den Punkten A(20; 0; 15) und B(7; -19,5; 46) sowie der Ebene E: 4x - 4y + 7z - 20 = 0. Hinweis: Die Ebene teilt den Raum in zwei Halbräume ein. Untersuchen Sie zunächst, ob die Punkte im selben Halbraum liegen.
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> Nene, er hat schon voll und ganz recht.
> Oben hast du quasi mittig geschrieben. Das kann man noch
> als richtig interpretieren, da der Punkt ja zwischen den
> beiden Projektionen ist.
Jo, hätte mich präziser ausdrücken müssen, sorry dafür.
> Du musst noch die Spiegelung für den Fall, dass beide auf einer Seite liegen einbauen.
Hiermit verwirrst du mich etwas, denn das wäre mein Lösungsweg für Aufgabe 2 gewesen, die Spiegelung brauche ich meiner Meinung nach in 2 nicht, da es entweder keinen Schnittpunkt gibt(Punkte liegen in einem Halbraum), einen Schnittpunkt gibt und [mm] \lambda [/mm] <0 oder >1 ist ( Punkte ebenfalls in einem Halbraum) oder [mm] \lambda [/mm] zwischen 0 und 1 liegt (Punkte in verschiedenen Halbräumen)
Bitte dabei beachten: In Aufgabe 2 ist kein Punkt gesucht!
Zu Aufgabe 1 habe ich immer noch das Problem, das ich nur spiegeln muss wenn die Punkte in einem Halbraum liegen. Wie soll ich eine allgemeine Lösung (Formel) angeben, wenn ich vorher noch untersuchen müsste ob diese Punkte in einem Halbraum liegen. Das wäre ja immer eine längere Rechnung, so wie ich die Aufgabe verstanden hab, soll jedoch eine allgemeingültige Formel bei rauskommen, in die man die Punkte/Ebene nur einsetzen muss um den Punkt P zu bekommen, ohne vorher irgendwas zu untersuchen?!
> Zu 1. fehlt dann noch die Begründung.
Ja leider, hab immer noch keine Idee wie die aussehen könnte. Naja, morgen Abend gehts ans rechnen, dann hab ich noch den kompletten Donnerstag um die Rechnung zu vervollständigen und mir darum Gedanken zu machen, Freitag gehts ans erklären vorm Prof :/
Aber denke das wird schon, hab ja doch ein paar Ansätze und war die letzten Tage durch E-Technik/Physik/Informatik Praktika recht ausgelastet, da blieb nicht mehr soviel Zeit sich sinnvolle Gedanken um Mathe zu machen
Möchte mich deswegen auch noch mal bei allen Helfern für die freundliche Unterstützung bedanken und dafür das Ihr nicht die Geduld mit nem kleinen Mathenoob verliert 
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1.) Bestimme die Fusspunkte der Lote von A bzw. B auf die Ebene: [mm] F_A [/mm] , [mm] F_B
[/mm]
2.) Bestimme die Abstände der beiden Punkte zur Ebene:
d(A,E) = [mm] d(A,F_A) [/mm] = a und d(B,E) = [mm] d(B,F_B) [/mm] = b
3.) Diese obigen Daten genügen, um den gesuchten Punkt P zu bestimmen.
gute Nacht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 Mi 30.04.2008 | | Autor: | Zneques |
> In Aufgabe 2 ist kein Punkt gesucht!
Sehe ich nicht so :
> 1. Gesucht ist der Punkt P ... Geben Sie eine allgemeine Lösung an.
> 2. Betrachten Sie nun den speziellen Fall...
> Untersuchen Sie [mm] \red{\text{zunächst}}, [/mm] ob die Punkte im selben Halbraum liegen.
Kurz : Teste deine allgemeine Lösung für den Punkt P an den speziellen Beispiel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Sa 03.05.2008 | | Autor: | stikken |
So, gestern meine Lösung dem Prof vorgestellt und testat bestanden
aufgabe 1 war viel unspektakulärer als gedacht, im prinzip hätte ne einfache Zeichnung gereicht, aus der hervor geht, das man einen Punkt halt spiegeln muss wenn beide in einem Halbraum liegen.
Aufgabe 2 war zwar leider irgendwo falsch gerechnet, aber Lösungsweg war richtig, so hat er es mir durchgehen lassen.
Außerdem fand er das ich [mm] \lambda [/mm] sehr schön "zeichne" :-D
also nochmals danke für die hilfe
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Ich weiß zwar spontan auch nicht "die" Lösung, aber zumindest habe ich eine Idee, wie du weiter kommen könntest, und zwar:
Von den Punkten A und B bildest du jeweils die Senkrechte auf deine Ebene, und bildest dann die Gerade zwischen den beiden Schnittpunkten (von den Senkrechten mit der Ebene).
Dadurch hast du das Ganze dann zweidimensional (statt dreidimensional). Dann kannst du dir auf einem Stück Papier die Aufgabe mit der "möglichst geringen Summe der Entfernungen" aufzeichnen und dir das alles besser vorstellen, als das im dreidimensionalen Raum der Fall ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Mo 28.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Da es sich insgesamt um 3 Punkte handelt liegen diese immer in einer Ebene. Die kann man zur Herleitung verwenden ohne die Ebene explizit zu konstruieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 Mo 28.04.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Da es sich insgesamt um 3 Punkte handelt liegen diese immer
> in einer Ebene. Die kann man zur Herleitung verwenden ohne
> die Ebene explizit zu konstruieren.
Das ist richtig.
Es geht aber auch um die Frage: Wo liegt der Punkt (in der Ebene), von dem aus die Summe der Entfernungen zu Punkt A und B minimal ist?
Und um sich das erst mal klar zu machen, wo so ein Punkt liegen könnte, kann man sich das auf einem (zweidimensionalen) Stück Papier aufzeichnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:04 Mo 28.04.2008 | | Autor: | stikken |
Hmm, hab bereits eine weitere Frage zu dem Thema gestellt, in dem ich meinen Lösungsansatz genauer beschreibe. Das mit dem bilden der senkrechten und bestimmung der Geraden sehe ich wie du, allerdings befinde ich mich dann immer noch im dreidimensionalen!?
Was weiter auch kein Problem ist, durch das setzen von [mm] \lambda [/mm] auf 0,5 kann ich den Punkt meiner Ansicht nach finden, der mittig auf der Ebene zu A und B liegt.
Den Nachweis das dies überhaupt der gesuchte Punkt habe ich ja erstmal außen vorgelassen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:27 Mo 28.04.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> ... finden, der mittig auf der Ebene zu A und B liegt.
Ja, dazu braucht man meine Methode nicht. Diesen mittigen Punkt kann man sicherlich auch anders ermitteln
> Den Nachweis das dies überhaupt der gesuchte Punkt habe ich
> ja erstmal außen vorgelassen.
Aber genau da liegt meines Erachtens der Hase im Pfeffer.
Falls A und B jeweils auf einer anderen Seite der Ebene liegen, dann wäre der gesuchte Punkt der Schnittpunkt der Geraden durch A und B mit der Ebene.
Aber was ist, wenn A und B auf derselben Seite der Ebene liegen?
Welcher Punkt auf der x-Achse hat zum Beispiel summenmäßig den kürzesten Abstand zu den Punkten A(0/6) und B(5/1) ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:47 Di 29.04.2008 | | Autor: | stikken |
ja, du hast absolut recht. Hab es eben mal zeichnerisch ausprobiert, es ist natürlich falsch einfach den mittigen Punkt zu nehmen, vergessen wir das am besten wieder.
leduart hat es oben dann ja auch nochmal erwähnt, auch wenn mich das ganze noch nicht so richtig weiterbringt. Aber lieber einen kleinen Schritt in die richtige Richtung als stehen zu bleiben
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 Di 29.04.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Hab es eben mal zeichnerisch ausprobiert
Zeichne doch mal 2 Punkte (A und B), die auf derselben Seite der Gerade liegen. Und dann den "Spiegelpunkt" B-Strich
Da findet sich dann (überraschender Weise ??) eine ganz einfache Lösung
= siehe Skizze
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:50 Di 29.04.2008 | | Autor: | stikken |
hab ich doch gemacht^^
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mir ist nicht klar, was du mit "mittig" oder "quasi mittig" eigentlich meinst
mach dir dies selber klar mit einer Zeichnung auf einem Blatt, so wie dies
rabilein1 vorschlägt
dann siehst du, ob es tatsächlich immer "mittig" ist; nimm aber NICHT
an, dass die Punkte A und B gleiche Abstände von der Ebene haben !
probier zuerst den Fall, wo A über und B unter der Ebene liegt;
nachher den Fall, wo A und B auf der gleichen Seite der Ebene liegen
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