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Ebenen in Koordinatengleichung: Frage zu Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:15 Mi 20.10.2004
Autor: evelyn77

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Wenn ich 3 Vektoren geg.habe: (1/0/1)   (-1/-1/2)    (3/2/-1), dann die Vektorgleichung aufstelle.Das ist ja kein Problem.Ich brauche aber die Koordinatengleichung!!Wie geht das?Der nächste Schritt im Lösungsbuch ist x1= 1 + 2r + 2s
     x2=         r - 2s
     x3= 1     -r -2s
ich weiß, dass man dann die 3. Zeile mit s und r ersetzten muss, aber wie? Und wie kommt man überhaupt auf dieses LGS?
Wäre voll nett, wenn mir jemand helfen könnte!! Danke!!!!!!!!:)


        
Bezug
Ebenen in Koordinatengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:31 Mi 20.10.2004
Autor: red-m

Hallo evelyn77,

was du da vorliegen hast ist jetzt ein Gleichungssystem. Ziel ist es nun, da die Koordinatengleichung gesucht ist, r und s aus diesen 3 Gleichungen zu eliminieren und aus 3 Gleichungen eine zumachen. Vorab möchte ich aber bemerken, dass die Gleichung für x2 so wie sie da steht nicht richtig ist. Eigentlich müsste alles so lauten:

x=x1=1+2r+2s
y=x2=0+1r+2s
z=x3=1 -1r -2s

Es ist nun folgendermaßen vorzugehen:
Um s zu eliminieren subtrahiert man einfach Gl.2 von Gl.1 (das ist natürlich nur in diesem Beispiel so einfach)
Also: x1-x2=1+2r+2s -(0+1r+2s)=1+2r+2s -1r -2s=1+1r
Da die Variable s jetzt noch in GL.3 enthalten ist, addieren wir Gl.1 und Gl.3
Also: x1+x3=1+2r+2s+1-1r-2s=2+1r

Wir haben jetzt:
x1 -x2=1+1r
x1+x3=2+1r

Um jetzt r zu eliminieren ziehen wir Gl.2 von Gl.1 ab
Also: x1-x2-(x1+x3)=1+1r-(2+1r)=-1
Jetzt wird die linke Seite noch vereinfacht:
-x2-x3=-1 oder auch -y-z=-1 oder y+z=1 (Koordinatengleichung)

Durch einsetzen der Punkte kann man dies nun überprüfen.

Zur Frage: das LGS entsteht aus der Parametergleichung:
( x )    ( 1 )       ( 2 )       ( 2 )
( y ) = ( 0 ) + r ( 1 ) + s ( 2 )
( z )    ( 0 )       (-1 )       (-2 )

   ( 1 )       ( 2r )    ( 2s )
= ( 0 ) +   ( 1r ) + ( 2s )
   ( 1 )       (-1r )    (-2s )

Das bedeutet für x muss gelten x=1+2r+2s, für y y=0+r+2s und für z: z=1-1r-2s.







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