Ebenen im affinen Raum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Sa 19.04.2008 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | | Sei P ein Punkt und E eine Ebene eines affinen Raumes, dann gibt es im affinen Raum genau eine Ebene F, so dass gilt: P [mm] \in [/mm] F und F [mm] \parallel [/mm] E. |
Ok, ich kann mir das ganze gut vorstellen und mir ist auch irgendwie klar, dass es so ist- nur wie beweise ich das?? wäre dankbar über einige denkanstöße....
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Hi,
> Sei P ein Punkt und E eine Ebene eines affinen Raumes, dann
> gibt es im affinen Raum genau eine Ebene F, so dass gilt: P
> [mm]\in[/mm] F und F [mm]\parallel[/mm] E.
> Ok, ich kann mir das ganze gut vorstellen und mir ist auch
> irgendwie klar, dass es so ist- nur wie beweise ich das??
> wäre dankbar über einige denkanstöße....
Sei $E := u + V$, wobei V ein linearer Raum ist, also nicht affin-linear.
Mit $F := p + V$, wobei p der Ortsvektor von P ist, kriegen wir den affinen Raum $F [mm] \parallel [/mm] E$. Angenommen es existiert einen weiteren Raum $F'$, der $P$ enthält und $F' [mm] \parallel [/mm] E$, dann würde ja auch gelten, dass $F' [mm] \parallel [/mm] F$. Nun ist $P$ sowohl in $F$ als auch in $F'$, als der Schnitt der beiden Affinen Räume ist nicht leer, also sie sind dann gleich, und das zeigt die Eindeutigkeit.
Gruss,
logarithmus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 So 20.04.2008 | | Autor: | jura |
ok, super, danke- hab ich größtenteils verstanden!!
nur deine ebenenschreibweise- ich kenne die so, dass sie aus 2 linear unabhängigen vektoren und einem ortsvektor bestehen. der ortsvektor ist ja bei dir ebenfalls vorhanden, der erste summand. aber warum dann das V??
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> nur deine ebenenschreibweise- ich kenne die so, dass sie
> aus 2 linear unabhängigen vektoren und einem ortsvektor
> bestehen. der ortsvektor ist ja bei dir ebenfalls
> vorhanden, der erste summand. aber warum dann das V??
Hallo,
bei Dir sähe p+V dann so aus: p + [mm] \lambda v_1 [/mm] + [mm] \mu v_2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:20 Mo 21.04.2008 | | Autor: | jura |
ja, genau. ist es nun in diesem fall für den beweis besser, wenn ich das V verwende oder kann ich auch einfach die mir sympatischere schreibweise benutzen? aber auch da bin ich mir dann nicht ganz sicher bezüglich der richtigen mathematischen schreibweise: kann ich für beide ebenen die gleichen parameter verwenden? geht es zum bsp. so:
E:= p + [mm]\lambda v_1[/mm] + [mm]\mu w_1.[/mm]
F:= o + [mm]\lambda v_2[/mm] + [mm]\mu w_2.[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:29 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo jura!
Du solltest auf jeden Fall unterschiedliche Parameter bei den beiden Ebenen verwenden, da es sonst unweigerlich zu Verwechlsungen führen wird.
Gruß
Loddar
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