Ebenen im Raum < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
mir sind gerade so ein paar Verständnisfragen zu Ebenen durch den Kopf gegangen.
Bei Wikipedia steht:
"Die Ebene ist ein Grundbegriff der Geometrie. Allgemein handelt es sich um ein unbegrenzt ausgedehntes flaches zweidimensionales Objekt"
Wenn die Ebene ein zweidimensionales Objekt ist, wieso kann ich sie nicht auch im zweidimensionalen Raum darstellen und brauche den dreidimensionalen Raum?
Ein Blatt Papier wäre in gewisser Art doch auch eine Ebene, oder? Nur, dass das Blatt eine begrenzte Fläche hat uns somit nicht unbegrenzt ist?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:29 Fr 13.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
der 2- dimensionale euklidische Raum ist eine Ebene, wie willst du eine ebene darin darstellen.
Solange du dich nur in einer Ebene bewegst ist das dein 2d Raum. im 3d Raum muss man sie erst darstellen, wenn man die gegenseitige Lage fesstellen will.
dein Papier hat eine -wenn auch kleine Dicke, nur die Ober ider Unterseite ist Teil einer Ebene.
Gruss leduart
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Wieso nur die Ober- und Unterseite eines Blattes? Das verstehe ich gerade nicht?
Grüße
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> Wieso nur die Ober- und Unterseite eines Blattes? Das
> verstehe ich gerade nicht?
>
> Grüße
Hallo steve.joke,
leduart meint, dass auch ein Blatt Papier in Wirklichkeit
ein echt dreidimensionales Objekt ist, das nebst seinen
zwei "hauptsächlichen" Dimensionen auch noch eine
dritte Dimension, nämlich seine möglicherweise ziemlich
dünne Dicke hat - so z.B. 1/10 Millimeter oder so ...
Zu deiner ursprünglichen Frage: natürlich kann man eine
Ebene in der Ebene darstellen - ihr Bild füllt dann einfach
(wenn die Darstellung eine Kongruenzabbildung ist) die
ganze Ebene aus. Eine zweidimensionale Ebene kann
aber auch in einem Raum mit einer beliebigen höheren
Dimension (3, 4 oder auch höher) kongruent dargestellt
werden. Man spricht dann auch etwa von einer "Einbettung".
Also: um eine Ebene darzustellen, braucht man nicht
unbedingt einen Raum höherer Dimension als 2 - aber es
ist trotzdem sehr nützlich, auch Ebenen zu betrachten und
zu untersuchen, die z.B. Ebenen im Raum [mm] \IR^3 [/mm] sind.
LG , Al-Chw.
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Hallo,
danke für eure Erläuterungen.
Dann nur noch eine wiederholte Frage: Wenn ein Blatt-Papier ein 3-dim Objekt ist, was meinen die bei Wikipedia mit "Allgemein handelt es sich um ein unbegrenzt ausgedehntes flaches zweidimensionales Objekt", wieso hier wieder 2-dim?
LG
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Hallo stevejoke,
könntest du das Universum irgendwie räumlich darstellen, wegen mir im Maßstab 1:87 (oder jedem anderen, der dir passend erscheint)? Denke dir das Universum dabei ruhig so schön dreidimensional und flach, so wie es beim guten alten Sir Isaac noch war. Und wenn du jetzt drauf kommst, dass dir das nicht gelingen wird, dann hat das exakt den gleichen Grund, warum das Vorhaben in der Ausgangsfrage nicht gelingt.
GRuß, Diophant
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Hallo Diophant,
damit habe ich aber leider immer noch kein besseres Verständnis für meine Frage
> Wenn ein Blatt-Papier ein 3-dim Objekt ist, was meinen die bei Wikipedia mit "Allgemein handelt es sich um ein unbegrenzt ausgedehntes flaches zweidimensionales Objekt", wieso hier wieder 2-dim?
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Hallo,
> Hallo Diophant,
>
> damit habe ich aber leider immer noch kein besseres
> Verständnis für meine Frage
>
> > Wenn ein Blatt-Papier ein 3-dim Objekt ist, was meinen die
> bei Wikipedia mit "Allgemein handelt es sich um ein
> unbegrenzt ausgedehntes flaches zweidimensionales Objekt",
> wieso hier wieder 2-dim?
Wieso ist mein Auto ein Auto? Die Frage bewegt mich auch schon seit längerer Zeit! 
Es gibt ein mathematisches Objekt der Dimension 2, welches nicht gekrümmt ist und nach allen Richtungen unbegrenzt ist. Dieses Objekt nennen wir Ebene, von daher ist es nicht so ganz erstaunlich, was da bei Wikipedia steht.
Und nochmal: für die Darstellung irgendeines unendlich ausgedehnten Objekts benötigst du einen Darstellungsraum, der (mindestens) eine Dimension mehr hat. Denn wer soll deine Darstellung sonst ansehen können?
Gruß, Diophant
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> Dann nur noch eine wiederholte Frage: Wenn ein Blatt-Papier
> ein 3-dim Objekt ist, was meinen die bei Wikipedia mit
> "Allgemein handelt es sich um ein unbegrenzt ausgedehntes
> flaches zweidimensionales Objekt", wieso hier wieder
> 2-dim?
Hallo Steve,
da scheint jetzt mindestens ein Missverständnis aufgekommen
zu sein.
Natürlich ist eine mathematische Ebene zweidimensional.
Die Sache mit dem Blatt Papier ist schlicht die, dass ein
Blatt Papier keine mathematische Ebene ist, einfach weil
es nicht "unendlich dünn" ist, sondern wie jeder andere
physische Körper auch noch eine gewisse Dicke und einen
positiven Rauminhalt (Volumen) hat. Um darauf hinzuweisen,
sprach leduart davon, dass man zwar nicht das physisch
vorhandene Blatt, aber allenfalls dessen Oberfläche als
Modell für eine mathematische Ebene nehmen könnte.
Eine zweite Frage, die hier anscheinend unterschiedlich
beantwortet wird, ist: Was bedeutet eigentlich "darstellen" ?
So wie ich es verstanden habe, meinst du damit dasselbe
wie "geometrisch abbilden", und zwar so abbilden, dass
alle wesentlichen Eigenschaften auch aus dem Bild ablesbar
sind.
Wenn man deine Frage wirklich verstehen darf als
"kann man eine Ebene im zweidimensionalen Raum [mm] \IR^2
[/mm]
im Sinne einer geometrischen Abbildung darstellen ?"
dann ist die Antwort zweifellos ja.
Wir könnten ja in der vorliegenden Ebene einfach ein
geeignetes [mm] \IR^2 [/mm] - Koordinatensystem einführen, und
fertig ist die "Darstellung". wenn klar ist, auf welche Weise
jedem Punkt der Ebene der entsprechende Punkt (Koordi-
natenpaar) zugeordnet werden soll - und umgekehrt.
Da man bei der Wahl des Koordinatensystems auch
gewisse Freiheiten hat, könnte man durchaus davon
sprechen, dass es verschiedene Möglichkeiten gibt,
die Ebene im [mm] \IR^2 [/mm] darzustellen.
Nun scheint es, dass sowohl leduart als auch Diophant
mit "darstellen" nicht genau dies meinen - ich will
aber ihre Interpretation des Begriffes "Darstellung"
nicht interpretieren - das sollen sie allenfalls selber tun 
Du hast gefragt, weshalb man denn einen Raum höherer
Dimension (also z.B. den [mm] \IR^3) [/mm] "brauche", um die
Ebene darzustellen. Die Antwort darauf habe ich schon
gegeben:
um eine Ebene darzustellen, braucht man nicht
unbedingt einen Raum höherer Dimension als 2 - aber es
ist trotzdem sehr nützlich, auch Ebenen zu betrachten und
zu untersuchen, die z.B. Ebenen im Raum $ [mm] \IR^3 [/mm] $ sind.
Soweit meine Auffassungen.
Falls leduart / Diophant diese Auffassungen nicht teilen,
bin ich gespannt auf ihre Reaktionen ...
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Sa 14.12.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Al,
ok, da hast du wohl den Knackpunkt der Frage getroffen. Ich habe hier Darstellung in dem Sinn verstanden, dass ein Objekt so dargestellt werden soll, dass man es innerhalb des Darstellungsraumes von anderen, insbesondere gleichartigen Objekten unterscheiden kann.
Das was du mit Darstellung meinst, würde ich jetzt eher als Beschreibung einer Ebene bezeichnen, aber so sind halt auch die sprachlichen Nuancen und Vorlieben unterschiedlich.
Beste Grüße & schönes Wochende, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:03 So 15.12.2013 | | Autor: | steve.joke |
Danke für eure Mitteilungen.
LG
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