Ebenen im Raum < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Di 12.04.2011 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Ebene E durch folgende Parameterdarstellung E: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 2} [/mm] + s * [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 2} [/mm] + t * [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 4}
[/mm]
a) Woran erkennt man leicht, dass die geraden g1 und g2 in der Ebene liegen?
g1: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 2} [/mm] + t * [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
g2: [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 2} [/mm] + t * [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 4}
[/mm]
b) Geben Sie einen Punkt P an, der nicht in der Ebene E liegt. Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung einer Ebene F, die den Punkt P enthält und die Ebene E in der Geraden g1 schneidet. Fertigen Sie eine Skizze an und erläutern Sie ihr Vorgehen. |
Hallo,
zu a) Das sieht man doch daran, dass sowohl g1 als auch g2 einen Richtungsvektor enthalten, der in der Ebenngleichung ebenfalls vorhanden ist. Der Standvektor ist egal oder?
zu b) Nehmen wir an, der Punkt P lautet P(10|1|2).
Es muss doch gelten: [mm] \vektor{10 \\ 1 \\ 2} [/mm] = F
Aber wie muss F lauten? Der Standvektor ist doch egal oder? Den kann ich beliebig wählen. Aber wie muss F sein, dass es auch noch die Gerade g1 schneidet? Muss es denselben Richtungsvektor enthalten? Also [mm] t*\vektor{1 \\ -1 \\ 2} [/mm] und s*Richtungsvektor ist egal?
Danke.
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Di 12.04.2011 | | Autor: | chrisno |
> zu a) Das sieht man doch daran, dass sowohl g1 als auch g2
> einen Richtungsvektor enthalten, der in der Ebenngleichung
> ebenfalls vorhanden ist.
Teil 1 der Antwort
> Der Standvektor ist egal oder?
Falsch. Mach den gegebenen mal ein bischen kürzer. Dann läuft die Gerade parallel zur Ebene und schneidet sie nie.
>
> zu b) Nehmen wir an, der Punkt P lautet P(10|1|2).
So wie die Aufgabe formuliert ist, musst Du nicht nachweisen, dass dieser Punkt nicht in der gegebenen Eben liegt.
>
> Es muss doch gelten: [mm]\vektor{10 \\ 1 \\ 2}[/mm] = F
Du musst für F eine Gleichung mit drei Vektoren und zwei Parametern hinschreiben.
>
> Aber wie muss F lauten? Der Standvektor ist doch egal oder?
> Den kann ich beliebig wählen.
s.o.: nein
> Aber wie muss F sein, dass
> es auch noch die Gerade g1 schneidet? Muss es denselben
> Richtungsvektor enthalten? Also [mm]t*\vektor{1 \\ -1 \\ 2}[/mm] und
> s*Richtungsvektor ist egal?
>
Zuerst musst Du sicherstellen, dass [mm] $g_1$ [/mm] in F liegt. Das machst Du mit Stand- und Richtungsvektor von [mm] $g_1$. [/mm] Den zweiten Richtungsvektor der Ebene brauchst Du noch. Der ergibt sich aus der Bedingung, dass P auch in der Ebene liegen soll. Da liegt nahe, das sicherzustellen, indem Du einen Vektor vom Endpunkt des Standvektors zu P hin nimmst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Di 12.04.2011 | | Autor: | Mathics |
Achso also müsste es heißen:
F = [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 2} [/mm] + t * [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 2} [/mm] + s * [mm] \vektor{7 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Der letzte Richtungsvekotr ergibt sich durch: [mm] \vektor{10 \\ 1 \\ 2} [/mm] - [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{7 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Ist das so richtig??
Danke.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Di 12.04.2011 | | Autor: | chrisno |
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:14 Di 12.04.2011 | | Autor: | Mathics |
Alles klar.
Wie würde aber jetzt die Skizze dazu aussehen?
So?: http://img200.imageshack.us/f/49884310.jpg/
Der Rote Punkt ist das P. Und de linke schwarze Gerade das g1
Wenn Sie falsch ist, kannst du mir evtl. eine korrigierte ZEichnung zeigen? Wäre sehr hilfreich :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 14.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
