Ebenen identisch ? < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hab mal ne theoretische Frage:
Wie findet man heraus, ob 2 Ebenen exakt die selben sind ? (Wenn auch der "Startpunkt" zum "Aufspannen" der Ebene verschieden ist?)
Hatten letztens ne Aufgabe gemacht wobei der Lehrer uns das ganz kurz erklärt hatte, kann die Lösung aber grad nichtmehr im Heft finden.
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Hi,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hab mal ne theoretische Frage:
> Wie findet man heraus, ob 2 Ebenen exakt die selben sind ?
> (Wenn auch der "Startpunkt" zum "Aufspannen" der Ebene
> verschieden ist?)
Es hängt davon ab, in welcher Form deine Ebenen gegeben sind.
Wenn zwei Ebenen identisch sind, dann sind z. B. die Ebenengleichungen identisch. Aus einer parametrisierten Form kannst du zum Beispiel die Ebenengleichungen ermitteln, um das zu überprüfen.
Noch ein Weg: ermittle jeweils einen Normalenvektor (Vektor der senkrecht auf der Ebene steht) der Ebenen - falls nicht schon gegeben. Sind sie ein Vielfaches voneinander, so sind die Ebenen parallel (das ist notwendig für Identität). Für die Idendität musst du dann nur noch einen Punkt finden, der in beiden Ebenen liegt.
Ganz allgemein kannst du aber alle Schnittpunkte von beiden Ebenen bestimmen, indem du die (parametrisierten) Ebenengleichungen gleichsetzt. Sind die Schnittpunkte gerade die komplette Ebene, so sind die Ebenen auch identisch
Hoffe, es ist was für dich dabei.
Gruß
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Also die Ebenen sind in Parameterform.
Wenn ich die Ebenengleichungen aber gleichsetze, hab ich aber nur 3 gleichung mit 4 Unbekannten, so lang ich grad keinen Denkfehler hab.
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> Also die Ebenen sind in Parameterform.
> Wenn ich die Ebenengleichungen aber gleichsetze, hab ich
> aber nur 3 gleichung mit 4 Unbekannten, so lang ich grad
> keinen Denkfehler hab.
Bei parametrisierter Form bietet sich die andere Variante an, Normalenvektor bestimmen, dazu Richtungsvektoren kreuzen. Und da du dann nur noch einen gemeinsamen punkt brauchst, entweder raten, oder ein Gleichungssystem lösen, in dem du die eine Parameterform mit nur einem Vektor/Punkt der anderen Ebene gleichsetzt (z. B. den Ortsvektor)
Gruß
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Ist in Parameterform wirklich gar nix zu machen?
Das mit der Normalenform ist schon klar ;)
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> Ist in Parameterform wirklich gar nix zu machen?
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> Das mit der Normalenform ist schon klar ;)
In Parameterform erhältst du ganz leicht den Normalenvektor, indem du das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren bildest.
Gruß
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Ja, das ist mir bewusst, wollte nur mal fragen ob es auch anders geht
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> Ja, das ist mir bewusst, wollte nur mal fragen ob es auch
> anders geht
Selbstverständlich kannst du auch direkt die drei Gleichungen aus der Gleichstellung der parametrisierten Ebenengleichungen nehmen. Gelingt es dir beim Rechnen nur genau zwei Variablen herauszulösen, so ist die Schnittmenge wieder eine Ebene, da ja zwei Parameter übrig bleiben. Wenn aber die Schnittmenge ne Ebene ist, dann gerade die identische Ebene
Gruß
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