Ebene zu 2 Punkten orthogonal < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Paddi15 |
| Aufgabe | Die Punkte O(0|0|0), A(4|3|0) , B(0|3|6) , C (4|0|6) sind Eckpunkte eines Quaders, dessen Kanten parallel zu den Koordinatenachsen sind.
Für jede reelle Zahl r ist eine Ebene Er: 6x1+8x2+(r-4)x3=6r gegeben. |
Die Ebene E8 schneidet ja den Quader im Dreieck ABC.
Jetzt soll ich aber noch den Flächeninhalt des Dreiecks ausrechnen.
Also auf jeden Fall 0,5*BC*AF
Die Länge von BC kann man ohne Probleme ausrechen, aber wie komme ich auf den Lotfußpunkt??
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Hallo Paddi15,
> Die Punkte O(0|0|0), A(4|3|0) , B(0|3|6) , C (4|0|6) sind
> Eckpunkte eines Quaders, dessen Kanten parallel zu den
> Koordinatenachsen sind.
> Für jede reelle Zahl r ist eine Ebene Er:
> 6x1+8x2+(r-4)x3=6r gegeben.
>
>
> Die Ebene E8 schneidet ja den Quader im Dreieck ABC.
> Jetzt soll ich aber noch den Flächeninhalt des Dreiecks
> ausrechnen.
> Also auf jeden Fall 0,5*BC*AF
> Die Länge von BC kann man ohne Probleme ausrechen, aber
> wie komme ich auf den Lotfußpunkt??
Die Verbindungsstrecke von A zu der Geraden durch B und C muss
senkrecht auf dieser Geraden stehen. Der Schnittpunkt ist der Lotfußpunkt.
Ist [mm]\overrightarrow{OA}[/mm] der Ortsvektor zum Punkt A und
[mm]g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OB}+t*\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\right)[/mm]
,wobei
[mm]\overrightarrow{OB}[/mm] der Ortsvektor zum Punkt B und
[mm]\overrightarrow{OC}[/mm] der Ortsvektor zum Punkt C bedeuten.
Dann ist folgende Gleichung zu lösen:
[mm]\left( \ \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-t*\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\right) \ \right)\* \left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\right)=0[/mm]
Daraus ergibt sich dann der Lotfußpunkt F.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Paddi15 |
[mm] \left( \ \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-t\cdot{}\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\right) \ \right)* \left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\right)=0 [/mm] ist ja das selbe wie
<SPAN class=math>[mm] \left( \ \overrightarrow{BA}-t\cdot{}\left(\overrightarrow{BC}\right)\right) * \left(\overrightarrow{BC}\right)=0 [/mm] oder?
Gruß Paddi</SPAN>
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Hallo Paddi15,
> [mm]\left( \ \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-t\cdot{}\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\right) \ \right)* \left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\right)=0[/mm]
> ist ja das selbe wie
>
> <SPAN class=math>[mm] \left( \ \overrightarrow{BA}-t\cdot{}\left(\overrightarrow{BC}\right)\right) * \left(\overrightarrow{BC}\right)=0[/mm]
> oder?
>
Ja.
> Gruß Paddi</SPAN>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Paddi15 |
Wieso heißt es denn -t(BC) ?
Ich verstehe die Herleitung nicht ganz.
Es heißt ja die Gerade(BA-t(BC)) ist orthogonal zu BC, deshalb ist es Null.
Aber wie man darauf kommt verstehe ich nicht ganz.
Danke für deine Mühe :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Paddi15 |
Wie könnte man das selbe mit einer zu BC orthogonalen Hilfsebene durch A machen?
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Hallo,
> Wie könnte man das selbe mit einer zu BC orthogonalen
> Hilfsebene durch A machen?
den Vektor [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] als Normalenvektor eine Ebenengleichung in Koordinatenform auftsellen, so dass die Ebene den Punkt A enthält.
Diese Ebene dann mit der GEraden durch B und C schneiden.
Gruß, Diophant
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Hallo Paddi15,
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> Wieso heißt es denn -t(BC) ?
> Ich verstehe die Herleitung nicht ganz.
>
> Es heißt ja die Gerade(BA-t(BC)) ist orthogonal zu BC,
> deshalb ist es Null.
> Aber wie man darauf kommt verstehe ich nicht ganz.
>
Das Lot ist der minimale Abstand von A zu der Geraden durch B und C.
Damit ist das ein Minimiermungsproblem.
Minimiere die Funktion
[mm]f\left(t\right)=\vmat{\overrightarrow{BA}-t*\overrightarrow{BC}}^{2}[/mm]
> Danke für deine Mühe :)
Gruss
MathePower
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