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| Aufgabe | | 38. Gegeben ist die Ebenenschar [mm] E(t)=(t-1)x_{1}+t²x_{2}-x_{3}=2 [/mm] . Prüfen Sie, ob es eine Ebene der Schar gib, die senkrecht auf der x3-Achse steht. |
Hey Leute,
ich verzweifel gerade ein bisschen an der Aufgabe. Mir fällt es schon schwer mir die gesuchte Ebene vorzustellen.
Also das ist doch eine Ebene, die irgendwo auf der x3-Achse nach oben und unten wandern kann (je nach x3 Koordinate) und im Prinzip immer eine Parallele Ebene zur x1-x2 Ebene bildet.
Falls das so stimmt müsste also die x3-Koordinate in der Ebenengleichung (die ja schon in Koordinatenform dasteht) immer gleich sein oder? Da der Koeffizient vor x3 aber sowieso nicht vom parameter t beeinflusst wird versteh ich nicht ganz wie das funktionieren soll? Meine Vermutung ist ja dass ich einfach auf dem Holzweg bin und ein Fehler im Denkansatz habe :/ Hoffe ihr könnt mir helfen.
lG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 38. Gegeben ist die Ebenenschar
> [mm]E(t)=(t-1)x_{1}+t²x_{2}-x_{3}=2[/mm]
Du meinst sicher
$$E(t) [mm] \red{\textbf{:}}\;\;(t-1)x_1+t^\red{2}x_2-x_3=2\,.$$
[/mm]
(Du solltest auch $^2$ schreiben und nicht ² innerhalb von Formeln, ansonsten
ist der Exponent 2 nicht sichtbar!)
(Genauer wäre übrigens
[mm] $E(t)=\left\{\vektor{x_1\\x_2\\x_3} \in \IR^3:\;\;(t-1)x_1+t^2x_2-x_3=2\right\}\,.$)
[/mm]
> . Prüfen Sie, ob es eine
> Ebene der Schar gib, die senkrecht auf der x3-Achse steht.
> Hey Leute,
> ich verzweifel gerade ein bisschen an der Aufgabe. Mir
> fällt es schon schwer mir die gesuchte Ebene
> vorzustellen.
Warum denn? Rechnen können reicht hier doch!
> Also das ist doch eine Ebene, die irgendwo auf der
> x3-Achse nach oben und unten wandern kann (je nach x3
> Koordinate) und im Prinzip immer eine Parallele Ebene zur
> x1-x2 Ebene bildet.
Du meinst, dass man so alle Ebenen beschreiben kann, die
senkrecht auf die [mm] $x_3$-Achse [/mm] stehen? Dann ja!
> Falls das so stimmt müsste also die x3-Koordinate in der
> Ebenengleichung (die ja schon in Koordinatenform dasteht)
> immer gleich sein oder?
Ja!
> Da der Koeffizient vor x3 aber
> sowieso nicht vom parameter t beeinflusst wird versteh ich
> nicht ganz wie das funktionieren soll? Meine Vermutung ist
> ja dass ich einfach auf dem Holzweg bin und ein Fehler im
> Denkansatz habe :/ Hoffe ihr könnt mir helfen.
> lG
Beachte einfach: Der Vektor
[mm] $\vec{n}(t_0)=\vektor{t_0-1\\{t_0}^2\\-1}$
[/mm]
steht senkrecht auf die Ebene [mm] $E(t_0)\,$ [/mm] der Ebenenscharr [mm] $(E(t))_{t \in \IR}$.
[/mm]
Senkrecht auf die [mm] $x_3$-Achse [/mm] zu stehen, bedeutet, zu prüfen:
Gibt es ein [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] und ein [mm] $t_0 \in \IR$ [/mm] so, dass
[mm] $\lambda*\vektor{0\\0\\1}=\vec{n}(t_0)$
[/mm]
gilt. (Der Skalar [mm] "$\lambda$" [/mm] wegen linearer Abhängigkeit!) Anders geschrieben:
[mm] $\vektor{0\\0\\\lambda}=\vektor{t_0-1\\{t_0}^2\\-1}\,.$
[/mm]
Die Antwort auf diese Frage wirst Du sicher finden, oder?! (Das notwendig
[mm] $\lambda=-1$ [/mm] sein muss, ist offensichtlich. Wie sieht es für das Gleichungsssystem
in [mm] $t_0 \in \IR$ [/mm] aus? Lösbar oder nicht - falls lösbar: Du brauchst dann mindestens
eine Lösung - aber vielleicht gibst Du einfach die Lösungsmenge an?
Hinweis: Du wirst keine Ebene in der Ebenenscharr finden können, die senkrecht
zur [mm] $x_3$-Achse [/mm] steht!)
P.S. Du kannst das auch mit Deinen Überlegungen begründen: Angenommen, es gäbe
eine solche Ebene. Dann müßte für alle [mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3}$ [/mm] dieser Ebene gelten, dass...
Und dann bastelst Du Dir einen Widerspruch! Im Prinzip hast Du ja schon alles da
stehen, schreib's halt mal ein klein wenig ausführlicher hin!
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
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> > 38. Gegeben ist die Ebenenschar
> > [mm]E(t)=(t-1)x_{1}+t²x_{2}-x_{3}=2[/mm]
>
>
> Du meinst sicher
> [mm]E(t) \red{\textbf{:}}\;\;(t-1)x_1+t^\red{2}x_2-x_3=2\,.[/mm]
>
> (Du solltest auch [mm]^2[/mm] schreiben und nicht ²
> innerhalb von Formeln, ansonsten
> ist der Exponent 2 nicht sichtbar!)
Hallo Marcel,
wie hast du überhaupt gemerkt, dass da noch ein
versteckter Exponent sein könnte ?
Ist dir die Aufgabe bekannt vorgekommen, weil du
sie selbst schon früher gesehen hast - oder guckst
du dir grundsätzlich alle Formeln sicherheitshalber
auch noch im Urtext an ?
Mir gehen diese doofen Tastaturexponenten übrigens
auch immer wieder extrem auf den Wecker !
LG , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > Hallo,
> >
> > > 38. Gegeben ist die Ebenenschar
> > > [mm]E(t)=(t-1)x_{1}+t²x_{2}-x_{3}=2[/mm]
> >
> >
> > Du meinst sicher
> > [mm]E(t) \red{\textbf{:}}\;\;(t-1)x_1+t^\red{2}x_2-x_3=2\,.[/mm]
>
> >
> > (Du solltest auch [mm]^2[/mm] schreiben und nicht ²
> > innerhalb von Formeln, ansonsten
> > ist der Exponent 2 nicht sichtbar!)
>
>
> Hallo Marcel,
>
> wie hast du überhaupt gemerkt, dass da noch ein
> versteckter Exponent sein könnte ?
Du willst also, dass ich meine Zaubertricks verrate?
> Ist dir die Aufgabe bekannt vorgekommen, weil du
> sie selbst schon früher gesehen hast - oder guckst
> du dir grundsätzlich alle Formeln sicherheitshalber
> auch noch im Urtext an ?
Ganz einfach: Zitierfunktion, und da an einer Stelle fälschlicherweise
ein [mm] $=\,$ [/mm] stand, habe ich natürlich mal drauf geguckt, was da sonst noch
steht. Der "Fehler" ² zu schreiben, ist mir bekannt, daher achtete ich zufällig
drauf!
> Mir gehen diese doofen Tastaturexponenten übrigens
> auch immer wieder extrem auf den Wecker !
Sie sind nützlich, wenn man halt einfach nur Text schreibt. Du weißt,
wenn ich Dir mal kurz schreibe, dass a²+b²=c² gilt, und das etwa in einer
Email. Hier im Forum finde ich sie auch nervig, da viele halt bei ihren Formeln
gar nicht mehr kontrollieren, ob sie richtig angezeigt werden!
Gruß,
Marcel
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