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Ebene durch drei Punkte (2): richtig gerechnet?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:46 Do 07.08.2008
Autor: BlubbBlubb

Aufgabe
Gegeben seien die Punkte [mm] P_1=(1,0,0), P_2=(0,1,0),P_3=(0,0,1). [/mm]

a)Man gebe die Parameterform, die parameterfreie Form und die Hessesche Normalform der Ebene an, die durch die Punkte [mm] P_1,P_2,P_3 [/mm] geht.

b)Man bestimme den Abstand des Punktes [mm] P_0=(1,2,3) [/mm] von der Ebene.

c)Man berechne den Durchstoßpunkt einer Geraden, die druch [mm] P_0 [/mm] geht und senkrecht auf der Ebene steht.

meine vorgehensweise:

zu a):

Parameterform:

E: [mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] u*\vektor{-1 \\ 1 \\ 0} +v*\vektor{-1 \\ 0 \\ 1} [/mm]

Vorraussetzung: [mm] (\vec{P_2}-\vec{P_1})\times(\vec{P_3}-\vec{P_1})\not=0 [/mm]

[mm] \vektor{-1 \\ 1 \\0}\times\vektor{-1 \\ 0 \\ 1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]


Parameterform [mm] \rightarrow [/mm] Parameterfreie Form:

[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}*\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]

E: [mm] x_1+x_2+x_3=1 [/mm]


Koordinatendarstellung in Hessesche Normalform:

[mm] \vec{n}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]

[mm] |\vec{n}|=\wurzel{3} [/mm]


[mm] HNF:\bruch{x_1}{\wurzel{3}}+\bruch{x_2}{\wurzel{3}}+\bruch{x_3}{\wurzel{3}}=\bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm]


zu b)

Abstand von [mm] P_0 [/mm] zu E: [mm] A=|\vec{p}*\vec{n}_{HNF}-k| [/mm]

[mm] \vec{p}*\vec{n}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}*\vektor{\bruch{1}{\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{\wurzel{3}}}=\bruch{6}{\wurzel{3}} [/mm]

[mm] A=|\bruch{6}{\wurzel{3}}-\bruch{1}{\wurzel{3}}|=\bruch{5}{\wurzel{3}} [/mm]

[mm] \vec{p}*\vec{n}>k \rightarrow P_0 [/mm] liegt auf der Nullpunkt nicht enthaltenden Seite.


Zu c)

Geradengleichung:

[mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+t*\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]

Durchstoßpunkt:

[mm] \vec{x_0}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+t_0*\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]

[mm] t_0=\bruch{1-\vektor{1 \\ 2 \\3}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}}{\vektor{ 1 \\ 1 \\ 1}*\vektor{ 1 \\ 1 \\ 1}}=\bruch{-5}{3} [/mm]


[mm] \vec{x_0}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}-\bruch{5}{3}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}=\vektor{\bruch{-2}{3} \\ \bruch{1}{3} \\ \bruch{4}{3}} [/mm]

richtig?

        
Bezug
Ebene durch drei Punkte (2): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:56 Do 07.08.2008
Autor: weduwe

wie gehabt [ok]
aber auch wie gehabt wieder etwas gewöhnungsbedürftig (für mich)

HNF: [mm] \frac{x+y+z-1}{\sqrt{3}}=0 [/mm]

und damit sofort

[mm] d(P_0)=\frac{1+2+3-1}{\sqrt{3}}=\frac{5}{\sqrt{3}} [/mm]

den durchstoßungspunkt schreibt man üblicherweise - bei uns zu hause - so:

[mm] P(-\frac{2}{3}/\frac{1}{3}/\frac{4}{3}) [/mm]

Bezug
                
Bezug
Ebene durch drei Punkte (2): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:05 Do 07.08.2008
Autor: BlubbBlubb

nochmals danke fürs durchschauen. deine methode ist auch kürzer und einfach zu merken. ich habe meine methode aus dem buch repetitorium der ingenieurmathematik teil 1, aber ich denke ich werde wohl in zukunft deine anwenden.

Bezug
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