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| Aufgabe | [mm] \integral_{}^{}{\integral_{B}^{}{\bruch{4xcos(y)}{1+x^2}) dA}}
[/mm]
Der eben Bereich B ist definiert durch die Bedingungen 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 und 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le \bruch{\pi}{3} [/mm] |
Hallo,
heut ist mein letzter Tag vor der Matheklausur also das letzte Mal das ich hier armen Matheverstehern auf den Keks gehe xD
Weiß leider nicht wie man solche Integrale ansetzt, der Bereich müsste ja laut meiner Skizze die Schnittfläche aus den beiden Bedingungen sein also ein nach oben offener Bereich von 0 bis 1. Nur wie bestimme ich jetzt die Integrationsgrenzen?
Vielen Dank für alle hilfreichen Antworten.
Mfg,
Unkreativ
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Di 17.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\integral_{}^{}{\integral_{B}^{}{\bruch{4xcos(y)}{1+x^2}) dA}}[/mm]
>
> Der eben Bereich B ist definiert durch die Bedingungen 0
> [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 und 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le \bruch{\pi}{3}[/mm]
> Hallo,
>
> heut ist mein letzter Tag vor der Matheklausur also das
> letzte Mal das ich hier armen Matheverstehern auf den Keks
> gehe xD
..... ich werde Dich vermissen .....
>
> Weiß leider nicht wie man solche Integrale ansetzt, der
> Bereich müsste ja laut meiner Skizze die Schnittfläche
> aus den beiden Bedingungen sein also ein nach oben offener
> Bereich von 0 bis 1. Nur wie bestimme ich jetzt die
> Integrationsgrenzen?
Zunächst malen wir: und zwar das Rechteck mit den Ecken
(0|0), (1|0), (1| [mm] \bruch{\pi}{3}) [/mm] und [mm] (0|\bruch{\pi}{3})
[/mm]
Schraffiere diesen Bereich. Das schraffierte ist Dein B.
Mit Fubini ist dann:
$ [mm] \integral_{}^{}{\integral_{B}^{}{\bruch{4xcos(y)}{1+x^2}) dA}} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{3}}{ (\integral_{0}^{1}{\bruch{4xcos(y)}{1+x^2} dx}) dy}$
[/mm]
Viel Glück für die Klausur
FRED
>
> Vielen Dank für alle hilfreichen Antworten.
>
> Mfg,
>
> Unkreativ
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Ist da jemand sarkastisch Fred?xD
Hatte nen Denkfehler, war irgendwie der Meinung [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] wäre ein 120° Winkel oO
[mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] kann ich dann willkürlich auf der y-Achse setzen oder? Ist ja nur ne Skizze.
Der Satz von Fubini sagt mir leider nichts, das hat unser Prof wohl ohne ein Wort zu sagen vorausgesetzt.
Hab ihn grad nachgeguckt und festgestellt das das mein Leben um einiges vereinfach hätte...
Dann also von innen nach außen:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{4x}{1+x^2} dx}
[/mm]
Ist das richtig so das man den (y) part bei x weglässt und umgekehrt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Di 17.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ist da jemand sarkastisch Fred?xD
....... ich nicht ....
>
> Hatte nen Denkfehler, war irgendwie der Meinung
> [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm] wäre ein 120° Winkel oO
> [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm] kann ich dann willkürlich auf der y-Achse
> setzen oder? Ist ja nur ne Skizze.
>
> Der Satz von Fubini sagt mir leider nichts, das hat unser
> Prof wohl ohne ein Wort zu sagen vorausgesetzt.
> Hab ihn grad nachgeguckt und festgestellt das das mein
> Leben um einiges vereinfach hätte...
>
> Dann also von innen nach außen:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{4x}{1+x^2} dx}[/mm]
> Ist das richtig so
> das man den (y) part bei x weglässt und umgekehrt?
Ja, aber nur weil integriert wird über eine Funktion der Bauart f(x)g(y) integriert wird.
FRED
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Gut also dann [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{4x}{1+x^2} dx} [/mm]
Substitution: u = 1 + [mm] x^2; [/mm] u'=2x; dx = [mm] \bruch{du}{2x}
[/mm]
=> [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{2}{u} du} [/mm] = 2ln [mm] |^1_{0}
[/mm]
Allerdings spuckt mein Taschenrechner für 2ln(1) - 2ln(0) nur nen Math error aus wo ist der Fehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Di 17.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gut also dann [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{4x}{1+x^2} dx}[/mm]
>
> Substitution: u = 1 + [mm]x^2;[/mm] u'=2x; dx = [mm]\bruch{du}{2x}[/mm]
>
> => [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{2}{u} du}[/mm] = 2ln [mm]|^1_{0}[/mm]
> Allerdings spuckt mein Taschenrechner für 2ln(1) - 2ln(0)
> nur nen Math error aus wo ist der Fehler?
Wenn Du substituierst, mußt Du auch die Integrationsgrenzen äandern:
[mm] u=1+x^2 [/mm]
Ist x=0, so ist u=1 ; ist x=1, so ist u=2.
Mit obiger Subst. bekommst Du also das Integral
[mm]\integral_{1}^{2}{\bruch{2}{u} du}[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Di 17.01.2012 | | Autor: | Unkreativ |
Ah wunderbar, hatte bisher nur mit unbestimmten Integralen zu tun :)
Also dann:
[mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{2}{u} du} [/mm] = 2ln(2) - 2ln (1) = [mm] ln(\bruch{2}{1}) [/mm] = 2ln(2)
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{3}}{cos(y) dy} [/mm] = sin [mm] (\bruch{\pi}{3}) [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
=> [mm] \wurzel{3}ln(2)
[/mm]
Vielen Dank :)
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