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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:20 So 26.10.2014 | | Autor: | ne1 |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass eine Teilmenge $E$ des [mm] $\mathbb{R}^3$ [/mm] genau dann eine Ebene ist, wenn es Vektoren $u, v, w [mm] \in \mathbb{R}^3$ [/mm] gibt, so dass $v$ und $w$ linear unabhängig sind und $E = u + [mm] \mathbb{R}v [/mm] + [mm] \mathbb{R}w$. [/mm] |
Hallo,
zur Lösung der Aufgabe habe ich keine besonderen Hilfsmittel, d.h. ich kenne z.B. kein Kreuzprodukt und keine komplexen Sätze der linearen Algebra. Ich schlage meine Lösung vor und bitte sie zu Kontrollieren. Außerdem habe ich noch ein Paar Schwierigkeiten.
[mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Es muss eine Menge $E' = [mm] \{x \in \mathbb{R}^3: \ es \ gibt \ \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R} \ mit \ x = u+\lambda_1 v + \lambda_2 w\}$ [/mm] gefunden werden, wobei $v$ und $w$ linear unabhängig sind und $E' = E$.
Da $E$ eine Menge, gilt [mm] $(a_1, a_2, a_3) \not [/mm] = 0$ und ich nehme an [mm] $a_1 \not [/mm] = 0$ (ansonsten vertauscht man die Indizes). Ich definiere folgende Menge $E' = [mm] \{x \in \mathbb{R}^3: \ es \ gibt \ \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R} \ mit \ x = (\bruch{b}{a_1}, 0, 0) +\lambda_1 (\bruch{-a_2}{a_1}, 1, 0) + \lambda_2 (\bruch{-a_3}{a_1}, 0, 1)\}$. [/mm]
Wenn die Vektoren $u, v$ lineal anhängig wären, dann würde es ein $q [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] geben, so dass $0 = q [mm] \cdot [/mm] 1$ und $1 = q [mm] \cdot [/mm] 0$ und $v [mm] \not [/mm] = 0$. So ein $q$ gibt es offensichtlich nicht und $v$ ist offensichtlich ungleich $0$, damit ist gezeigt, dass die Vektoren linear unabhängig sind.
Zu zeigen ist noch $E = E'$, deshalb muss gezeigt werden $E [mm] \subseteq [/mm] E'$ und $E' [mm] \subseteq [/mm] E$.
$E [mm] \subseteq [/mm] E'$:
Sei $x [mm] \in [/mm] E$. Zu zeigen ist $x [mm] \in [/mm] E'$. Es müssen also [mm] $\lambda_1, \lambda_2$ [/mm] gefunden werden, so dass folgenden drei Gleichungen erfüllt werden:
[mm] $x_1 [/mm] = [mm] \bruch{b}{a_1} [/mm] + [mm] \lambda_1 \bruch{-a_2}{a_1} [/mm] + [mm] \lambda_2 \bruch{-a_3}{a_1}$
[/mm]
[mm] $x_2 [/mm] = [mm] \lambda_1$
[/mm]
[mm] $x_3 [/mm] = [mm] \lambda_2$
[/mm]
[mm] $\lambda_2 [/mm] := [mm] x_2$ [/mm] und [mm] $\lambda_2 [/mm] := [mm] x_3$ [/mm] erfüllen die Gleichung.
$E' [mm] \subseteq [/mm] E$:
Sei $x [mm] =(\bruch{b}{a_1}, [/mm] 0, 0) [mm] +\lambda_1 (\bruch{-a_2}{a_1}, [/mm] 1, 0) + [mm] \lambda_2 (\bruch{-a_3}{a_1}, [/mm] 0, 1) [mm] \in [/mm] E'$. Zu zeigen ist $x [mm] \in [/mm] E$. Durch Einsetzen der drei Gleichungen [mm] ($x_1, x_2, x_3$) [/mm] in [mm] $a_1 x_1 [/mm] + [mm] a_2 x_2 +a_3 x_3 [/mm] = b$ kann man leicht zeigen, dass $x$ die Gleichung löst also ist $x [mm] \in [/mm] E$ und damit ist [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] gezeigt.
[mm] "$\Leftarrow$:
[/mm]
Es muss eine Menge $E' = [mm] \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3: a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = b\}$ [/mm] gefunden werden, wobei [mm] $(a_1, a_2, a_3) \not [/mm] = 0$ und $E' = E$.
Ich definiere
[mm] $a_1 [/mm] := [mm] -v_3 w_2 [/mm] + [mm] v_2 w_3$
[/mm]
[mm] $a_2 [/mm] := [mm] -v_1 w_3 [/mm] + [mm] v_3 w_1$
[/mm]
[mm] $a_3 [/mm] := [mm] v_1 w_2 [/mm] - [mm] v_2 w_1$
[/mm]
$b := [mm] -u_1 v_3 w_2 [/mm] + [mm] u_1 v_2 w_3 [/mm] - [mm] u_2 v_1 w_3 [/mm] + [mm] u_2 v_3 w_1 [/mm] + [mm] u_3 v_1 w_2 [/mm] - [mm] u_3 v_2 w_1$
[/mm]
$E' = [mm] \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3: a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = b\}$.
[/mm]
Mein erstes Problem ist, wie beweise ich aus der linearen Unabhängigkeit von $v$ und $w$, dass [mm] $a_1$, $a_2$ [/mm] oder [mm] $a_3$ [/mm] ungleich $0$?
Außerdem muss gezeigt werden $E' = E$ also $E [mm] \subseteq [/mm] E'$ und $E' [mm] \subseteq [/mm] E$.
$E [mm] \subseteq [/mm] E'$:
Durch einsetzten von [mm] $x_1 [/mm] = [mm] u_1 [/mm] + [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 v_2$, $x_2 [/mm] = [mm] u_2...$ [/mm] und [mm] $x_3 [/mm] = [mm] u_3... [/mm] $ in [mm] $a_1 x_1 [/mm] + [mm] a_2 x_2 [/mm] + [mm] a_3 x_3 [/mm] = b$ erhält man, dass beide Seiten gleich sind, also löst $x [mm] \in [/mm] E$ die Gleichung und das heißt wiederum, dass $x [mm] \in [/mm] E'$.
$E' [mm] \subseteq [/mm] E$:
Sei $x [mm] \in [/mm] E'$. Es müssen [mm] $\lambda_1, \lambda_2$ [/mm] gefunden werden, so dass folgende drei Gleichungen erfüllt werden:
[mm] $x_1 [/mm] = [mm] u_1 [/mm] + [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 w_1$
[/mm]
[mm] $x_2 [/mm] = [mm] u_2 [/mm] + [mm] \lambda_1 v_2 [/mm] + [mm] \lambda_2 w_2$
[/mm]
[mm] $x_3 [/mm] = [mm] u_3 [/mm] + [mm] \lambda_1 v_3 [/mm] + [mm] \lambda_2 w_3$
[/mm]
Hier fängt mein zweiten Problem an.
Was ich hier machen würde, ist z.B. die zweite Gleichung nach [mm] $\lambda_2$ [/mm] auflösen und [mm] $\lambda_2$ [/mm] gleich dem Ergebnis setzen. Anschließend [mm] $\lambda_2$ [/mm] in die erste Gleichung einsetzten und nach [mm] $\lambda_1$ [/mm] auflösen und [mm] $\lambda_1$ [/mm] dem Ergebnis gleich setzen. Am Ende nur noch überprüfen, ob meine [mm] $\lambda_1$ [/mm] und [mm] $\lambda_2$ [/mm] die drei Gleichungen lösen und ggf. die lineare Unabhängigkeit von $v$ und $w$ verwenden um die Gleichungen umzuformen. Das habe ich schon mal versucht, leider ohne Erfolg (vielleicht habe ich einfach nur einen Fehler gemacht), deshalb meine Frage ob es hier die richtige Vorgehensweise sei.
Danke im Voraus.
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> Beweisen Sie, dass eine Teilmenge [mm]E[/mm] des [mm]\mathbb{R}^3[/mm] genau
> dann eine Ebene ist, wenn es Vektoren [mm]u, v, w \in \mathbb{R}^3[/mm]
> gibt, so dass [mm]v[/mm] und [mm]w[/mm] linear unabhängig sind und [mm]E = u + \mathbb{R}v + \mathbb{R}w[/mm].
Hallo,
ich habe mir die Aufgabe und deine Ausführungen dazu
nur ganz kurz angeschaut.
Ich fände es aber ganz wichtig, dass du noch angeben
würdest, auf welche Definition du dich denn für einen
Beweis stützen sollst bzw. darfst. Also:
Wie wurde der Begriff " Ebene im [mm] \IR^3 [/mm] " genau definiert ?
(Man könnte nämlich exakt das, was hier bewiesen werden
soll, auch als Definition des Begriffes zugrundelegen. Und
dann gäbe es offenbar garnix mehr zu "beweisen" !)
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 So 26.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi Al,
> > Beweisen Sie, dass eine Teilmenge [mm]E[/mm] des [mm]\mathbb{R}^3[/mm] genau
> > dann eine Ebene ist, wenn es Vektoren [mm]u, v, w \in \mathbb{R}^3[/mm]
> > gibt, so dass [mm]v[/mm] und [mm]w[/mm] linear unabhängig sind und [mm]E = u + \mathbb{R}v + \mathbb{R}w[/mm].
>
>
> Hallo,
>
> ich habe mir die Aufgabe und deine Ausführungen dazu
> nur ganz kurz angeschaut.
>
> Ich fände es aber ganz wichtig, dass du noch angeben
> würdest, auf welche Definition du dich denn für einen
> Beweis stützen sollst bzw. darfst.
aus dem Teil:
> Es muss eine Menge $ E' = [mm] \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3: a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = b\} [/mm] $ gefunden werden, wobei $ [mm] (a_1, a_2, a_3) \not [/mm] = 0 $
(rechts ist mit [mm] $0\,$ [/mm] sicher $0 [mm] \in \IR^3$ [/mm] gemeint)
entnehme ich, dass Ebenen hier wohl über
![[]](/images/popup.gif) Koordinatenform einer Ebene
definiert worden sind.
Eine Bestätigung von ne1 ist dennoch unerläßlich (sofern das denn auch
stimmt).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 So 26.10.2014 | | Autor: | ne1 |
Eine Teilmenge $E [mm] \subseteq \mathbb{R}^3$ [/mm] heißt Ebene, wenn es [mm] $a_1, a_2, a_3, [/mm] b [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] mit [mm] $(a_1, a_2, a_3) \not [/mm] = (0,0,0)$ gibt, so dass
$E = [mm] \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3: a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 =b \}$.
[/mm]
Parametrisierung:
$u + [mm] \mathbb{R} [/mm] v + [mm] \mathbb{R} [/mm] w := [mm] \{x \in \mathbb{R}^3: \ es \ gibt \ \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R} \ mit \ x = u+\lambda_1 v + \lambda_2 w \}$.
[/mm]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:08 So 26.10.2014 | | Autor: | ne1 |
Mein Vorschlag um zu zeigen, dass [mm] $a_1, a_2$ [/mm] oder [mm] $a_3$ [/mm] ungleich null.
Sind $w, v$ linear unabhängig, so ist für beliebiges $q [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] eine der drei Gleichungen nicht erfüllt.
I. [mm] $w_1 [/mm] = q [mm] v_1$
[/mm]
II. [mm] $w_2 [/mm] = q [mm] v_2$
[/mm]
III. [mm] $w_3 [/mm] = q [mm] v_3$
[/mm]
Angenommen die Gleichung III ist nicht erfüllt (ansonsten analog), dann kann [mm] $a_1 [/mm] = [mm] -v_3 w_2 [/mm] + [mm] v_2 w_3$ [/mm] nicht null sein, denn wenn die Gleichung null wäre, dann müsste [mm] $w_3 [/mm] = q [mm] v_3$ [/mm] (denn eine Gleichung kann immer problemlos erfüllt werden und ich definiere, dass II. erfüllt wird und setzte [mm] $w_2 [/mm] = q [mm] v_2$) [/mm] gelten, aber wie gesagt, ist sie nie erfüllt.
Wenn meine Argumentation richtig ist, dann bleibt nur noch eine Frage bestehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mo 03.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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