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E[X] und Var[X] von Panjer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:01 Sa 28.04.2012
Autor: Joan2

Hallo,

ich beschäftige mich gerade mit der Panjer Verteilung.
[mm] $p_n=(a+\bruch{b}{n})p_{n-1}, [/mm] n=1,2,...$

In meinen Büchern wird immer nur erwähnt, dass
[mm] $E[X]=\bruch{a+b}{1-a}$ [/mm] und [mm] $Var[X]=\bruch{a+b}{(1-a)^2}$ [/mm] ist.

Weiß jemand wie man darauf kommt?



Viele Grüße
Joan

        
Bezug
E[X] und Var[X] von Panjer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:03 Mo 30.04.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

$E[X] = [mm] \summe_{k=1}^\infty k*p_k [/mm] =  [mm] \summe_{k=1}^\infty k*\left(a + \bruch{b}{k}\right)p_{k-1} [/mm] =  [mm] \summe_{k=1}^\infty k*a*p_{k-1} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^\infty b*p_{k-1} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^\infty (k+1)*a*p_k [/mm] + [mm] b*\summe_{k=0}^\infty p_k [/mm] = [mm] a*\summe_{k=0}^\infty k*p_k [/mm] + [mm] a*\summe_{k=0}^\infty p_k [/mm] + b*1 = a*E[X] + a*1 + b$

Umstellen nach E[X] liefert das Gewünschte.
Var(X) machst nu mal allein :-)

MFG,
Gono.

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Bezug
E[X] und Var[X] von Panjer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:15 Mi 02.05.2012
Autor: Joan2

Vielen Dank für die Antwort.

Ich wollte gerade die Varianz berechnen. Dafür benötigt man ja [mm] $E[X^2]$. [/mm]

Ist  dann [mm] $E[X^2] [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} k^2 p_k$? [/mm]

Bezug
                        
Bezug
E[X] und Var[X] von Panjer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 Mi 02.05.2012
Autor: luis52

Moin,

>  
> Ist  dann [mm]E[X^2] = \summe_{i=1}^{\infty} k^2 p_k[/mm]?

Fast [ok]: [mm]E[X^2] = \summe_{\red{k=1}}^{\infty} k^2 p_k[/mm]

vg Luis


Bezug
                                
Bezug
E[X] und Var[X] von Panjer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 Do 03.05.2012
Autor: Joan2

[mm] $E[X^2]= \sum_{k=1}^\infty k^2p_{k-1} [/mm]
= [mm] \sum_{k=1}^\infty k^2 (a+\bruch{b}{k})p_{k-1} [/mm]
= [mm] \sum_{k=1}^\infty k^2 ap_{k-1} [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^\infty kbp_{k-1} [/mm]
= [mm] \sum_{k=0}^\infty a(k^2+1)p_k [/mm] + [mm] \sum_{k=0}^\infty b(k+1)p_k [/mm]
[mm] =a\sum_{k=0}^\infty k^2 p_k [/mm] + [mm] a\sum_{k=0}^\infty p_k [/mm] + [mm] b\sum_{k=0}^\infty [/mm] k [mm] p_k [/mm] + [mm] b\sum_{k=0}^\infty p_k [/mm]
[mm] =a\sum_{k=0}^\infty k^2 p_k [/mm] + [mm] a\sum_{k=0}^\infty p_k [/mm] + b E[X] + [mm] b\sum_{k=0}^\infty p_k [/mm]
= [mm] a\sum_{k=0}^\infty k^2 p_k [/mm] + a + [mm] b(\bruch{a+b}{1-a}) [/mm] + b
= a [mm] E[X^2] [/mm] + a + [mm] \bruch{ab+b^2}{1-a}+b$ [/mm]

Also: [mm] $E[X^2]= \bruch{a+b}{1-a} [/mm] + [mm] \bruch{ab+b^2}{(1-a)^2}$ [/mm]

Aber es soll sein: [mm] $Var[X]=\bruch{a+b}{(1-a)^2}$. [/mm]

Und setz ich [mm] $E[X^2]$ [/mm] in [mm] $E[X^2]-(E[X])^2$ [/mm] ein, kommt was ganz anderes raus.
In der Berechnung von  [mm] $E[X^2]$ [/mm] muss ein Fehler sein, aber ich seh nicht wo. Weiß jemand weiter?




Bezug
                                        
Bezug
E[X] und Var[X] von Panjer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 Do 03.05.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]$E[X^2]= \sum_{k=1}^\infty k^2p_{k-1}[/mm]

Hier muss es [mm] p_k [/mm] heißen, aber du setzt falsch ein, dadurch wirds wieder richtig.

> = [mm]\sum_{k=1}^\infty k^2 (a+\bruch{b}{k})p_{k-1}[/mm]

Das stimmt wieder.

> = [mm]\sum_{k=0}^\infty a(k^2+1)p_k[/mm] + [mm]\sum_{k=0}^\infty b(k+1)p_k[/mm]

Bei der Indexverschiebung setzt du doch für k dann k+1 ein, d.h. es muss [mm] $(k+1)^2$ [/mm] heißen und NICHT [mm] $k^2 [/mm] +1$.

Grundlagen nacharbeiten :-)

MFG,
Gono.

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E[X] und Var[X] von Panjer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:47 Do 03.05.2012
Autor: Joan2

Hoppala, da sollte ich wirklich was nachholen :P
Danke ^^

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