EZS, linear unabhängig < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Di 11.11.2008 | | Autor: | csak1162 |
[mm] \pmat{ 3 & 4 & -2 \\ 2 & 3 & -2 \\ 3 & 4 & -2}
[/mm]
wenn ich das auf stufenform bringe dann erhalte ich
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
das ist dann kein EZS und auch nicht linear unabgängig, ich kann also keine basis aussonder oder ergänzen??
danke lg
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> [mm]\pmat{ 3 & 4 & -2 \\ 2 & 3 & -2 \\ 3 & 4 & -2}[/mm]
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> wenn ich das auf stufenform bringe dann erhalte ich
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> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
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> das ist dann kein EZS und auch nicht linear unabgängig, ich
> kann also keine basis aussonder oder ergänzen??
Hallo,
poste doch bei sowas bitte die Aufgabenstellung mit.
Man kann gar nicht entscheiden, ob das ein EZS ist oder nicht, weil Du nicht sagst, was erzeugt werden soll!
Ein bißchen reime ich mir natürlich was zusammen:
Du hattest drei Vektoren gegeben, die Du in die Spalten der Matrix oben geschrieben hast.
Du sollst die Frage beantworten, ob die drei Vektoren linear unabhängig sind, ob sie eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] sind, und außerdem sollst Du wahrscheinlich eine Basis des von den drei Vektoren aufgespannten Raumes angeben.
Um die beantworten zu können, hast Du die matrix auf Zeilenstufenform gebracht. Hieran kann man alles ablesen.
linear unabhängig: die Matrix hat lediglich den Rang 2, also sind die Vektoren nicht linear unabhängig
Basis des [mm] \IR^3: [/mm] können sie nicht sein, denn jede Basis des [mm] \IR^3 [/mm] besteht aus drei linear unabhängigen Vektoren.
Erzeugendensystem des [mm] \IR^3: [/mm] die Matrix hat den rang 2, also hat der von den drei Vektoren aufgespannte Raum die Dimension 2, womit sie also kein Erzeugendensystem des [mm] \IR^3 [/mm] sind.
Basis des aufgespannten Raumes: die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in der 1. und 2. Spalte. Daher bilden der 1. und 2. der ursprünglich eingesetzen Vektoren eine Basis des aufgespanntenRaumes.
Von diesen beiden Vektoren kannst Du Dir überlegen, wie Du sie durch einen weiteren Vektor zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ergänzen kannst. Überlege Dir, durch was Du die dritte Spalte austauschen könntest um eine Matrix vom Rang 3 zu bekommen.
So, nun hoffe ich, daß ich alle gestellten und nicht gestellten Fragen erschöpfend beantwortet habe.
Achtung: falls Du die Vektoren als Zeilen in die Matrix gelegt hast, was prinzipiell auch möglich ist, paßt manches von dem, was ich geschrieben habe, nicht.
Gruß v. Angela
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