EW - Eigenvektor < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:22 Fr 16.06.2006 | | Autor: | Tea |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi !
Ich soll den Eigenvektor der Matrix
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0} [/mm] bestimmen.
Habe die [mm] det(A-\lambda [/mm] E) gebildet, gleich 0 gesetzt und als Elemente des Eigenvektors
0, 0 und 2
herausbekommen.
Kann mir einer von euch ein Verfahren sagen wie ich diese Elemente des EV im Ev anzuordnen habe?
Also, wo ist e1, e2, e3 ????
Danke !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Fr 16.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Es gibt nicht "den" Eigenvektor. Es gibt die Menge der Eigenwerte, und zu jedem Eigenwert einen Eigenraum.
Die Eigenwerte sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynomes der Matrix, und du hast sie bereits richtig bestimmt.
Und nun musst du zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor bzw. eine Basis seines Eigenraumes finden. Diese entspricht genau der Basis des Lösungsraumes des Gleichungssystemes [mm] $(A-\lambda [/mm] E)x=0$.
In diesem Falle kannst du entsprechende Eigenvektoren sofort erraten.
Versuch's mal.
Liebe Grüße,
Hanno
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Hi, also das Erraten kann man nur mit der Zeit bekommen. Wichtig ist beim Erraten,
dass die Richtung des Eigenvektors dieselbe bleibt. Durch genaues hinchaeun kann man hier dann schon sagen, dass [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] ein EV. ist und auch
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\1} [/mm] und den letzten versuche nun selbst zu erraten 
Wenn man schon EW. hat dann weiß man ja, dass zu jedem EW. entsprechend seiner Vielfachheit als Nullstelle, genauso viele EV. gibt's(na ja das gilt auch nicht immer, aber immer öfters ).
Weiter, schaue mal was sind die Spalten der AMtrix, welchen Raum sie bilden,
der EV. besteht ja dann aus einer Kombination dieser Spalten.
Aber ein Paar Beispiele und dann hast Du es schon drauf, für leichtere Aufgaben.
Tip. siehe auch unter: http://www.tuhh.de/mat/LEHRE/UEBUNG/WS05_06/index.html
dort gibt's viele Übungsklausuren mit Beispielen, und unser Prof. mag es mit dem Erraten
[mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:17 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Tea |
Hallo.
Hm...
Ich glaube man bekommt den Blick fuer sowas nur durch Üben. Also hab ih mich mal ans Ausrechnen gemacht.
Für [mm] \lambda [/mm] =2
[mm] \pmat{1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}- [/mm] 2*E = [mm] \pmat{-1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1}
[/mm]
-->
[mm] \pmat{-1 & 1 & 0 | 0 \\ 0 & 0 & 0 | 0 \\ 0 & 0 & -1 | 0} [/mm] und daraus folgt
EV= [mm] \vektor{1\\0\\0}.
[/mm]
Für [mm] \lambda [/mm] =0 dementsprechend
EV= [mm] \vektor{-1\\1\\0}
[/mm]
Aber was mache ich bei [mm] \lambda=1???
[/mm]
Erhalte da bei [mm] A-\lambda [/mm] E
[mm] \pmat{0&1&0\\1&0&0\\0&0&0}
[/mm]
-->
[mm] \\pmat{0&1&0|0\\1&0&0|0\\0&0&0|0}
[/mm]
, müsste ja dann [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] rauskommen ?!
ich komm jetzt aber leider nicht von dem Gleichungssystem auf diese Lösung
, oder mache ich was falsch ?
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also jetzt verstehe ich garn nichts, hast Du eine Andere Matrix genommen ?
wenn die Matrox ist: [mm] \pmat{1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}- [/mm]
dann machst Du alles richtig, nur nicht die Lösung eines LGS ist falsch!!!!
zuerst ist (1 0 0) definitiv falsch, denn mache mal die Multiplikation A*x, das bekommst Du nie wieder raus. Dort kommt (1 1 0) raus. Für EW 0 hast Du schon alles berechnet. Für eins hast Du ja am Ende stehen: [mm] \pmat{0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}- [/mm]
also als Antwort: (0 0 1) oder (0 0 2) oder was anderes.
bis dann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:43 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Tea |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Tea |
Vielen Dank für eure Antworten! Ist dann wohl nen hoffnungsloser Fall...
Also noch
mal [mm] A=\pmat{1&1&0\\1&1&0\\0&0&1} [/mm] .
Daraus haben wir die EW 2, 1, 0.
Jetzt zu den EW die EV: Habe als Lösung
[mm] v^{1}=\vektor{1\\1\\0} [/mm]
[mm] v^{2}=\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
[mm] v^{3}=\vektor{-1\\1\\0}
[/mm]
und halt keine Ahnung wie ich eben genau auf diese Eigenvektoren komme...
Danke !
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Hi...
> Vielen Dank für eure Antworten! Ist dann wohl nen
> hoffnungsloser Fall...
>
> Also noch
> mal [mm]A=\pmat{1&1&0\\1&1&0\\0&0&1}[/mm] .
>
> Daraus haben wir die EW 2, 1, 0.
>
Vollkommen richtig...
> Jetzt zu den EW die EV: Habe als Lösung
> [mm]v^{1}=\vektor{1\\1\\0}[/mm]
> [mm]v^{2}=\vektor{0\\0\\1}[/mm]
> [mm]v^{3}=\vektor{-1\\1\\0}[/mm]
>
> und halt keine Ahnung wie ich eben genau auf diese
> Eigenvektoren komme...
>
> Danke !
Also. Wie meine Vorredner schon gesagt haben, gibt es nicht den EINEN EIgenvektor, sondern nur Eigenvektor(en) zu einem speziellen Eigenwert. D.h. in diesem fall Eigenvektor(en) für EW 0, 1 oder 2...
Um diese Eigenvektoren auszurechnen, bestimmst du den Eigenraum von einem Eigenwert, und das wiederum ist eben das Lösen eines LGS:
Ich mache dir das mal am Eigenwert 2 vor:
[mm] (E_A(2) [/mm] ist der Eigenraum zum EW 2)
[mm] E_{A}(2)= \IL_{A-2 E_3}
[/mm]
[mm] \gdw \pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 } \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
=> z=0
=> -x + y = 0 [mm] \gdw [/mm] x = y
Also: was wissen wir? Eigenraum zum EW 2 besteht aus Vektoren, derren ersten beiden Koordinaten gleih sind, und die 3. Koordinate "z" immer gleich null ist...
Also folgt:
[mm] E_{A}(2)= \IL_{A-2 E_3} [/mm] = Spann des Vektors [mm] \vektor{1\\1\\0}
[/mm]
Also ist [mm] \vektor{1\\1\\0} [/mm] der Eigenvektor zum EW 2
Es kann natürlich auch sein, dass ein Lösungsraum mal von 2 vektoren aufgespannt ist. Dann sind eben dies beiden die Eigenvektoren zum Eigenwert...
Hoffe, es ist ein bisschen klarer geworden, wie man ds macht...
Kannst ja mal deine Ergebnisse mit deiesem Lösungsweg nachrechnen...
Gruß, Fabian
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