EV hermitesche/ sym. Matrix < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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huhu ;)
Ich hab nur ne ganz kleine Frage, da das Lernen mit versch. Skripten wo Verschiedenes drinsteht mich n bissl verwirrt^^
Ist das richtig?
Eine symmetrische Matrix besitzt nur orthogonale Eigenvektoren
Eine hermitesche Matrix besitzt eine ON- Basis an Eigenvektoren,
sodass jede hermitesche matrix auch unitär ist.
Lg,
Eve
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Hallo Eve,
> huhu ;)
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> Ich hab nur ne ganz kleine Frage, da das Lernen mit versch.
> Skripten wo Verschiedenes drinsteht mich n bissl
> verwirrt^^
>
> Ist das richtig?
> Eine symmetrische Matrix besitzt nur orthogonale
> Eigenvektoren
Ja, genauer: Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal
> Eine hermitesche Matrix besitzt eine ON- Basis an
> Eigenvektoren, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Erstmal eine Orthogonalbasis aus EVen, aber die kannst du ja klein kriegen 
> sodass jede hermitesche matrix auch unitär ist.
Wieso das?
>
>
> Lg,
>
> Eve
Gruß
schachuzipus
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> Hallo Eve,
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huhu ^^
> > Ich hab nur ne ganz kleine Frage, da das Lernen mit versch.
> > Skripten wo Verschiedenes drinsteht mich n bissl
> > verwirrt^^
> >
> > Ist das richtig?
> > Eine symmetrische Matrix besitzt nur orthogonale
> > Eigenvektoren
>
> Ja, genauer: Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten
> sind orthogonal
>
> > Eine hermitesche Matrix besitzt eine ON- Basis an
> > Eigenvektoren,
>
> Erstmal eine Orthogonalbasis aus EVen, aber die kannst du
> ja klein kriegen
>
> > sodass jede hermitesche matrix auch unitär ist.
>
> Wieso das?
>
> >
hab mich unglücklich ausgedrückt^^ ich wollte damit sagen, dass ich unitär diagonalisieren kann, sodass ich statt D [mm] =U^{-1} [/mm] A U auch D = [mm] U^T [/mm] A U schreiben kann. (mit U unitär): Das klappt doch dann auch bei symmetrischen Matrizen oder? sry für die zusätzliche Frage, aber wie sieht es bei schiefsymmetrisch/schiefhermitesch aus? Gilt dies auch für diese Art der Matrizen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Fr 17.08.2012 | | Autor: | fred97 |
Jede normale Matrix lässt sich unitär diagonalisieren
FRED
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Ist dieses folgende Zitat richtig? Weil für mich normal und nicht orthogonal diagonalisierbar ein Widerspruch ist:
"Also, ich glaube ich habs nun, bitte schreit wenns falsch ist: Schiefsymmetrische Matrizen sind (genauso wie symmetrische) über IR normal und somit diagonalisierbar, da die Eigenwerte nicht in IR liegen jedoch nicht orthogonal diagonalisierbar. Symmetrische Matrizen hingegen schon, da reelle Eigenwerte. Über C kann man zu beiden nicht viel sagen"
Die Antwort war, das es richtig sei.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:49 Sa 18.08.2012 | | Autor: | hippias |
> Ist dieses folgende Zitat richtig? Weil für mich normal
> und nicht orthogonal diagonalisierbar ein Widerspruch ist:
Es ist insofern kein Widerspruch, da "normal" eine Betrachtung ueber [mm] $\IC$ [/mm] impliziert, waehrend "orthogonal" hier wohl [mm] $\IR$ [/mm] meint. $A$ normal ueber [mm] $\IR$ [/mm] + alle EW in [mm] $\IR$ [/mm] -> $A$ is orthogonal diagonalisierbar.
>
> "Also, ich glaube ich habs nun, bitte schreit wenns falsch
> ist: Schiefsymmetrische Matrizen sind (genauso wie
> symmetrische) über IR normal und somit diagonalisierbar,
> da die Eigenwerte nicht in IR liegen jedoch nicht
> orthogonal diagonalisierbar. Symmetrische Matrizen hingegen
> schon, da reelle Eigenwerte. Über C kann man zu beiden
> nicht viel sagen"
>
> Die Antwort war, das es richtig sei.
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Bei welchen Arten von Matrizen sind die Eigenvektoren von verschiedenen Eigenwerten orthogonal? Oder gilt dies für alle matrizen?
Kann ja nicht sein, sonst wären alle Matrizen ja unitär/orthogonal diagonalisierbar, oder?
Edit: Ich denke dies gilt bei symm. / hermiteschen/ schiefsymm./ schiefhermit. oder? Ansonsten weiß ich nicht , ob unitäre/orthogonale bzw normale Matrizen auch dazuzählen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Sa 18.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Bei welchen Arten von Matrizen sind die Eigenvektoren von
> verschiedenen Eigenwerten orthogonal? Oder gilt dies für
> alle matrizen?
Das gilt nicht fuer alle Matrizen.
Es gilt: ist $A$ diagonalisierbar (egal ob ueber [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$), [/mm] so hat $A$ eine Basis von orthogonalen Eigenvektoren genau dann, wenn $A$ normal ist.
Ist $A$ nicht diagonalisierbar (dann ist $A$ insb. auch nicht normal), kann man nicht so einfach Aussagen treffen. Mir ist zumindest in der Hinsicht keine "schoene" Aussage bekannt.
> Kann ja nicht sein, sonst wären alle Matrizen ja
> unitär/orthogonal diagonalisierbar, oder?
Nein, nur die, die auch genuegend viele Eigenvektoren haben, also die sowieso diagonalisierbar sind.
> Edit: Ich denke dies gilt bei symm. / hermiteschen/
> schiefsymm./ schiefhermit. oder? Ansonsten weiß ich nicht
> , ob unitäre/orthogonale bzw normale Matrizen auch
> dazuzählen
Die zaehlen alle dazu. Nur sind sie nicht alle ueber [mm] $\IR$ [/mm] diagonalisierbar, da ihre Eigenwerte auch ausserhalb von [mm] $\IR$ [/mm] liegen koennen.
LG Felix
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supi vielen lieben Dank felixf
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